ロジット関数の逆関数

下記の Web ページの「ロジット関数の逆関数」で説明されているロジット関数からロジスティック関数への式変形ですが、（３）のところまではわかるものの、（4）のところで？？？となってしまいました。

http://mathwords.net/logitkansu

（１）ｙ= log (p / (1 - p))
（２）e^y = p / (1 - p)
（３）e^y - e^y*p = p
（4）p = e^y / (e^y + 1)

どうやったら（3）の片側から p を消して（4）の形になるのでしょうか？
こんな基礎的なところで、躓くのは恥ずかしい限りですが、どなたか（３）と（４）の途中の式変形をお示しいただけないでしょうか。

よろしくお願いします。

No.2 回答者： diff3356 回答日時： 2017/09/02 13:38

失礼しました。

UPしました回答のうち、３～４行目は不必要な内容でした。おわびしてこの部分を削除いたします。

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2017/09/02 13:33

質問を読んで、「等式の変形」であることがわかります。

「y=ln{p/(1-p)} を p について解くこと」が問題です。
※ まず、数式を「１行」で書くとき、2 - 1/6 - 4=1/2 ではありません。分数を普通に筆記するときは、分子、分母の間に長い線があるのでかっこが不要ですが。「１行」で書くときは、(2 - 1)/(6 - 4) と書かなければ 1/2 にはなりません。
ーーーーーーーーーーーー
等式は、「等式の性質」を使って変形します。
まず、y=ln{p/(1-p)} ⇔ p/(1-p)=e^y (対数の定義) です。
さらに、両辺に(1-p)をかけて、(1-p)*e^y=p ⇔ (1+e^y)*p=e^y...(*)
両辺を(1+e^y)で割り、
p=e^y/(1+e^y).
となります。((*)からは、pの「１次方程式」を解いているだけです)

この回答へのお礼

質問でも説明したように（3）までは分ってるんです。？？？なのは（３）と（４）の間です。
diff3356 さんの説明で言うと「(1-p)*e^y=p ⇔ (1+e^y)*p=e^y」の矢印のところ。

でも、「1次方程式」というヒントをもらって自己解決しました。
つまりこういう事ですね。

（3）e^y - e^y*p = p
（3'）e^y - e^y*p - p = 0
（3''）e^y - p*(e^y + 1) = 0
（3'''）- p*(e^y + 1) = -e^y
（3''''）p*(e^y + 1) = e^y
（4）p = e^y / (e^y + 1)

私は３ステップ半（4ステップ目の符号を反転させるのは半ステップとして）かかりましたけど、
訓練すれば１ステップで即答できるようになるんですかねー。

これからも精進します！

お礼日時：2017/09/02 21:37