物理の問題について質問です
問題
長い円軸円筒の内部円筒導体Aの直径を3mm、外部円筒導体Bの内径を15mmとし、両導体間に200Vを加えるとき、内部円筒導体の表面の電界および両導体表面の電荷密度を求めよ。また空気の絶縁体力を30kV/cmとするとき、両導体間の耐電圧はいくらか。
解答
E=8.3×10^4[V/m]
σA=7.35×10^-7[C/m^2]
σB=-1.47×10^-7[V/m^2]
V max=7.25[kV]
解説と途中式を教えてください
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
外部円筒導体Bの内径:15mmも「直径」とみなします。
また「絶縁体力」→「絶縁耐力」ですね。円筒導体に単位長さあたり ρ の電荷を与えると、0.0015 (m)<r<0.0075 (m) の点の電界は、ガウスの定理より
E(r) = ρ/2パイε0r ①
なので、内側と外側の円筒間の V(r) は
V(r) = -∫[0.0015→0.0075]E(r)dr = (ρ/2パイε0)(ln0.0075 - ln0.0015) = (ρ/2パイε0)ln5
これが200Vなので
(ρ/2パイε0)ln5 = 200
より
ρ/2パイε0 = 200/ln5 ≒ 124 ②
よって、①より
E(r) = 124/r
内部円筒導体の表面の電界は、r=0.0015 より
E(0.003) = 1246/0.0015 ≒ 8.3 * 10^4 (V/m)
②より線電荷密度 ρ が
ρ = 248パイε0
で、内側円筒、外側円筒の単長さの表面積は
Si = 2パイri = 2パイ * 0.0015
So = 2パイro = 2パイ * 0.0075
なので、電荷密度は
σA = ρ/Si = (124/0.0015) ε0 ≒ 7.3*10^(-7) (C/m^2)
σB = ρ/So = (124/0.0075) ε0 ≒ 1.5*10^(-7) (C/m^2)
「耐電圧」の定義が不明確ですが、下記のとおり考えます。
内側・外側円筒間で一番電界の大きい部分が内側円筒近傍で、上のとおり
E(0.003) ≒ 8.3 * 10^4 (V/m)
です。これを [kV/cm] に換算すると 0.83 kV/cm となります。これは空気の絶縁耐力「30kV/cm」に対して
30 (kV/cm) / 0.83 (kV/cm) ≒ 36.14
倍のマージンがあります。従って、現状の 200V に対して
200 (V) * 36 = 7.2 (kV)
まで電圧を上げられるということです。ここまで電圧を上げると絶縁破壊が起こるということ。
これが「耐電圧」ということなのでしょう。
なお、上記はすべて、問題文で与えられた数字から「有効数字2桁」として計算しています。
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