物理の問題について質問です 問題 長い円軸円筒の内部円筒導体Aの直径を3mm、外部円筒導体Bの内径を

物理の問題について質問です

問題
長い円軸円筒の内部円筒導体Aの直径を3mm、外部円筒導体Bの内径を15mmとし、両導体間に200Vを加えるとき、内部円筒導体の表面の電界および両導体表面の電荷密度を求めよ。また空気の絶縁体力を30kV/cmとするとき、両導体間の耐電圧はいくらか。

解答
E=8.3×10^4[V/m]
σA=7.35×10^-7[C/m^2]
σB=-1.47×10^-7[V/m^2]
V max=7.25[kV]

解説と途中式を教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/20 13:16

外部円筒導体Bの内径：15mmも「直径」とみなします。

また「絶縁体力」→「絶縁耐力」ですね。

円筒導体に単位長さあたり ρ の電荷を与えると、0.0015 (m)<r<0.0075 (m) の点の電界は、ガウスの定理より
　E(r) = ρ/2パイε0r　　　　①
なので、内側と外側の円筒間の V(r) は
　V(r) = -∫[0.0015→0.0075]E(r)dr = (ρ/2パイε0)(ln0.0075 - ln0.0015) = (ρ/2パイε0)ln5

これが200Ｖなので
　 (ρ/2パイε0)ln5 = 200
より
　　ρ/2パイε0 = 200/ln5 ≒ 124　　　②
よって、①より
　E(r) = 124/r

内部円筒導体の表面の電界は、r=0.0015 より
　E(0.003) = 1246/0.0015 ≒ 8.3 * 10^4 (V/m)

②より線電荷密度 ρ が
　ρ = 248パイε0
で、内側円筒、外側円筒の単長さの表面積は
　Si = 2パイri = 2パイ * 0.0015
　So = 2パイro = 2パイ * 0.0075
なので、電荷密度は
　σA = ρ/Si = (124/0.0015) ε0 ≒ 7.3*10^(-7) (C/m^2)
　σB = ρ/So = (124/0.0075) ε0 ≒ 1.5*10^(-7) (C/m^2)

「耐電圧」の定義が不明確ですが、下記のとおり考えます。
内側・外側円筒間で一番電界の大きい部分が内側円筒近傍で、上のとおり
　E(0.003) ≒ 8.3 * 10^4 (V/m)
です。これを [kV/cm] に換算すると 0.83 kV/cm となります。これは空気の絶縁耐力「30kV/cm」に対して
　30 (kV/cm) / 0.83 (kV/cm) ≒ 36.14
倍のマージンがあります。従って、現状の 200V に対して
　200 (V) * 36 = 7.2 (kV)
まで電圧を上げられるということです。ここまで電圧を上げると絶縁破壊が起こるということ。
これが「耐電圧」ということなのでしょう。

なお、上記はすべて、問題文で与えられた数字から「有効数字2桁」として計算しています。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2017/11/20 21:12