実数x,yがx^2-y^2=1のとき、x+2y^2の最小値は？ こちらの問題の詳しい解答を教えて頂け

実数x,yがx^2-y^2=1のとき、x+2y^2の最小値は？

こちらの問題の詳しい解答を教えて頂けませんか？
宜しくお願いします！

質問者からの補足コメント

• y^2=x^2-1をx+2y^2に代入して平方完成すると2(x+1/4)^2-1/8 になりました。計算していくと、x=-1のとき、最小値1になりました。合っていますか？

    補足日時：2017/12/08 23:12

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/12/08 15:39

何回同じような質問をするのですか？　「答」ではなく「解き方」「アプローチの方法」を学んでください。

x^2 - y^2 = 1
という条件であれば
　y^2 = x^1 - 1　　　　①
です。
x, y は実数なので、2乗すれば必ず正またはゼロです。従って
　y^2 = x^1 - 1 ≧ 0
→　1 ≦ x^2
よって
　　x ≦ -1 または 1 ≦ x　　　②

①を与式
　z = x + 2y^2
に代入すれば
　z = x + x^2 - 1
　　= (x + 1/2)^2 - 5/4

これを (x, z) 平面のグラフにすると
・下に凸の放物線
・頂点は ( -1/2, -5/4 )
です。

このグラフで、②の x の範囲での最小値は、
　x = -1 のとき、最小値 -1
です。

No.2 回答者： tanngoo3 回答日時： 2017/12/09 00:57

「補足」に書かれている

＞y^2=x^2-1をx+2y^2に代入して平方完成すると2(x+1/4)^2-1/8 になりました。計算していくと、x=-1のとき、最小値1になりました。合っていますか？

は「合っていません！」です。

x^2-y^2=1
なので、x=-1 のとき y=0 です。
これを
　x+2y^2
に代入すれば「-1」であって、「1」にはなりません。


#1の回答も計算間違いをしています。

＞①を与式
　z = x + 2y^2
に代入すれば
　z = x + x^2 - 1　　←ここが代入間違い。
　　= (x + 1/2)^2 - 5/4

これが間違いで

①を与式
　z = x + 2y^2
に代入すれば
　z = x + 2x^2 - 2　　←こうなるはず。
　　= 2x^2 + x - 2
　　= 2(x + 1/4)^2 - 1/8 - 2　　←「補足」に書いてあるのは、この「-2」が欠落している。
　　= 2(x + 1/4)^2 - 17/8
　　
これを (x, z) 平面のグラフにすると
・下に凸の放物線
・頂点は ( -1/4, -17/8 )
です。

このグラフで、②の x の範囲での最小値は、
　x = -1 のとき、最小値 -1
です。

No.3 回答者： JuanJose 回答日時： 2017/12/14 08:08

わー私も合ってた。

フーリエ級数で挫折したけど中学の数学は楽しい。高校だと微分して接線の傾きゼロの位置から頂点を調べるんだよね。何度かグラフ書いて頂点、最小最大の関係を頭に入れると良いですよ。