|a|-|b| ≦ |a+b|≦|a|+|b|

|a|-|b| ≦ |a+b|≦|a|+|b|
はどうやって成り立っているのですか？
証明して欲しいです。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/19 17:46

|a|−|b|≦|a+b|≦|a|+|b|＿＿(1)

この不等式の各辺の数を二乗すると
(|a|−|b|)^2≦(|a+b|)^2≦(|a|+|b|)^2＿＿(2)
|a|^2−2|a||b|+|b|^2≦|a|^2+2ab+|b|^2≦|a|^2+2|a||b|+|b|^2＿＿(3)
各辺から|a|^2+|b|^2を引くと
−2|a||b|≦2ab≦2|a||b|＿＿(4)
まず、不等式(4)の成立を確認する。(4)から(3)と(2)が証明される。(2)の各辺の正の平方根を取ると、正の平方根を取る関数√は単調増加関数だから不等号の向きは変わらず(1)が成立する。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/02/17 08:57

|a|-|b|≦|a+b| は各絶体値の中の符号で

場合分けして左辺ー右辺≧0を確かめればよい。

a≧0、b≧0なら (a+b) - (a-b)=2b≧0
a<0、b<0なら -a-b - (-a+b)=-2b>0
a≧0、b<0、a+b≧0なら a+b - (a+b)=0
a≧0、b<0、a+b<0 なら -a-b-(a+b)=-2(a+b)>0
a<0、b≧0、a+b≧0なら a+b-(-a-b)=2(a+b)≧0
a<0、b≧0、a+b<0なら -a-b-(-a-b)=0

と地道に計算するだけ。

|a+b|≦|a|+|b|
もやり方は同じ。

No.1 回答者： DucTran 回答日時： 2018/02/16 22:36

これ、

a>0 => |a|=a
a<0 => |a|=-a
という性質を使っても証明出来ませんでした。他の方法でやってみます。