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数IIの問題です。a>0、b>0のとき√ab≧2ab/a+bを証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。という問題で解答に、√ab>0、2ab/a+b>0であるから√ab≧2ab/a+b 等号が成り立つのはa−b=0のときとかいてあるのですがどうしてa−b=0のときなんでしょうか。

A 回答 (1件)

相加平均≧相乗平均 より


(a+b)/2≧√ab が成り立つ (足して2で割ったものは、書かけてルートにしたものより大きいか等しいということ)

この式を両辺2√ab/(a+b)倍すると
√ab≧2ab/(a+b)
という事だと思いますが、
(a+b)/2≧√abで等号が成立するのはa=bすなわちa-b=0のときだけです。
これを具体的数字でやってみると、
a=b=1
a=b=2
a=b=3等のときは等号が成り立ちます。
しかし、a≠bのとき
たとえば、a=1,B=2
a=3 b=1
等のときは、ルートのある側が小さくなってしまいます。
たしかに、
相加平均≧相乗平均 
(a+b)/2≧√ab で
等号成立はa=b すなわち a-b=0と言えます。

だから、(a+b)/2≧√ab を変形した式、√ab≧2ab/(a+b)も
等号成立条件は変わらずa-b=0のときとなります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2018/02/20 22:42

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