以下の問題を一応証明したのですが、論述に自信がありません。入試の採点でつっこまれそうなか所を指摘して欲しいです。(京大志望です)
自然数 a,b,c について,等式 a^2+b^2=c^2 が成り立ち,かつ a,b は互いに素とする。このとき,次のことを証明せよ。
(1) a が奇数ならば,b は偶数であり,したがって c は奇数である。
(2) a が奇数のとき,a+c=2d^2 となる自然数 d が存在する。
(1)
a,bをともに奇数とすると
i,jを任意の自然数として
a=2i-1
b=2j-1
とおける。
すると、
a^2+b^2=(2i-1)^2+(2j-1)^2
=4(i^2+j^2)+4(i-j)+2=c^2
よってcが奇数であるときc^2も奇数となるからcは偶数。
よって
c=2k
とおく。
すると、
0=a^2+b^2-c^2
=4(i^2+j^2-k^2)+4(i-j)+2≡2(mod.4)
となって不合理。
よってa,bがともに奇数とはなり得ない。
よってaが奇数ならばbは偶数以外ありえない。
(2)
m,n(m<n)を自然数として
a=n^2-m^2
c=n^2+m^2
とおく。
(a,cはともに奇数よりn,mのうち一方は偶数で一方は奇数)
以下題意をみたす任意のa,cがこのようにあらわせることを示す。
上の式をn^2,m^2について解くと
n^2=(c+a)/2
m^2=(c-a)/2
となる。
よって
n^2m^2=(c^2-a^2)/4=b^2/4
よって
b=2mn
となる。
これはbが偶数であるという(1)に矛盾しない。
よって上のようにa,b,cを表現することに不合理はない。(ただしm,nは互いに素とする。でないとa,b,cが互いに素であるという仮定に反する)
またこれより題意をみたすとき
a+c=2n^2
よって題意は示された。
(2)のa,cがm,nであのように表現できるという証明で、とりあえず矛盾はなさそうだからOKと言うような論法になってしまっている気がするのですが…
どうでしょうか?
No.14ベストアンサー
- 回答日時:
私も、因数は1を含まない、というイメージがあったのですが、(素因数分解といったら、1を書きませんし)その辺りに自信がなかったので、ネット上で検索してみたんです。
そうしたら、http://ja.wikipedia.org/wiki/約数
が見つかって、これを読んだ感じでは、因数は1も含む、という解釈しかできなかった(どう見ても、約数=因数という書き方ですよね?)ので、そうだったのか~、と思ってあのように書きました。一般に、因数といったら、1を含まないのなら、あのままでかまいません。
>p,qが3以上の素数では割り切れない
基本は背理法です。
pが3以上の素数rで割り切れたとします。
pqは平方数で、pは1以外の平方数では割り切れないので、qがrで割り切れる事になります。
すると、c-a=pm^2,c+a=qn^2はともにrの倍数となる事から、2a=(c+a)-(c-a)はrの倍数になります。
rは3以上の素数であったから、aがrの倍数となります。(←"3以上の素数"のように2を除外したのは、この部分で2aがrの倍数としか言えないためです。)
さらに、※b^2=(c-a)(c+a)はr^2の倍数であるから、bはrの倍数。
よって、rはa,bの公約数。rは3以上の素数であったから、a,bが互いに素であることに矛盾。
よって、pは3以上の素数で割り切れない。qについても同様。
という感じです。
なお、※の部分は、a,cが互いに素である事を既知とするならば、2c=(c+a)+(c-a)がrの倍数よりcがrの倍数、というのに置き換えても問題ありません。
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/約数
No.13
- 回答日時:
#8+#12です。
#12のお礼についてです。
自信はないのですが、1(=平方数)というのは、任意の自然数nの因数ではないのでしょうか?そうだとすれば、
> ただしp,qが平方数を因数に持つとすると、m^2,n^2が最大の平方数という仮定に反するからp,qは平方数を因数に持つことはない。
の部分は「ただしp,qが1以外の平方数を因数に持つとすると、…」などのようにするべきでしょう。
これ以外は、問題ないと思います。
ちなみに、#8への補足で間違っていたのは、m=r*sと表せたとした場合に、例えば、「a+c=r*奇数^2、c-a=r*s^2*奇数^2」みたいなパターンは
> c-a=mp^2,c+a=mq^2
とは表せませんよね。
参考程度ですが、いろんな解き方を知っておくことも、いい勉強になりますから、私なりの解き方(の方針)を書いておきますね。
・p,qが1以外の平方数で割り切れない事を示す
・pqが平方数である事を書く。(ここまでは#12の補足と同じです)
・p,qが3以上の素数で割り切れないことを示す。
・p,qは1または2であることを示す。
・p=qである事を示す
・p=q=1でない事を示す。
∴p=q=2
d=nとすれば、a+c=2d^2
この回答への補足
>自信はないのですが、1(=平方数)というのは、任意の自然数nの因数ではないのでしょうか?
因数というのは1以外の約数のことだと理解していたのですが…
それと参考のところで、p,qが3以上の素数では割り切れないことはどうやって示すんでしょうか?
No.12
- 回答日時:
#8です。
#8への補足を見たのですが、そんな事よりも、重大な欠陥を発見しました(もっと早く気がつくべきでした)。#6さんへの補足の最後の部分です。
> a=i(q^2-p^2)
> c=i(q^2+p^2)
p,qは奇数ですから、a,cは偶数って事になります。
でも、a,cは奇数でしたよね??
さて、どこで、証明があらぬ方向へ進んだのでしょうか?
ヒントは#8への補足の中に間違いがある、という事だけにします。
"誤った証明"のどの部分が間違いであるか、というのを探すのも、たまにはいいと思います。こういう種類の問題を扱った問題集は少ないですしね。(少なくとも私は、大学受験の時には1冊しか見かけなかった気がします)
是非、何処で間違っているか、自分で探してみてください。間違いが見つからなければ、補足してください。
c-a,c+aの因数(または1)のうち最大の平方数をそれぞれm^2,n^2とすると、
c-a=pm^2
c+a=qn^2
とおける。
ただしp,qが平方数を因数に持つとすると、m^2,n^2が最大の平方数という仮定に反するからp,qは平方数を因数に持つことはない。
またこのとき
b^2=pq(mn)^2
となる。
b^2,(mn)^2はともに平方数よりpqも平方数。
よってpq=k^2とおける。
ところでp,qを素因数分解したときそれぞれ
p=p1p2…pi
q=q1q2…qj
となるとする。
ただしp,qは平方数を因数に持たないからp1,p2…piはすべて異なるし、q1,q2…qjもすべて異なる。
よってpq=k^2より
k^2=p1p2…piq1q2…qj
となる。
もしq1,q2,…,qjの中にp1に等しいものがないとすると、p2,p3,…,piのなかにはp1と等しいものは存在しないからk^2が平方数であることに反する。
つまりp1と等しい数がq1,q2,…,qjの中に存在する。
またq1,q2…qjはすべて異なるからp1と等しい数が2つ以上存在することもありえない。
よってq1,q2…qjの中にはp1と等しい数がただ1つ存在する。
同様に考えればq1,q2…qjの中にはp2と等しいもの、p3と等しいもの、…piと等しいものがただ1つずつ存在する。
また同様に考えてp1,p2…piの中にはq1,q2,…,qjと等しいものがただ1つずつ存在する。
よってp1,p2…piの組み合わせを並べ換えるとq1,q2,…,qjの組み合わせとなる。
よって
p=p1p2…pi=q1q2…qj=q
となる。
よって
c-a=pm^2
c+a=pn^2
とおける。
あとは今まで同様の方針で…
No.11
- 回答日時:
かなりごまかしていますね。
「そこでb=mpqとおける。(m,p,qは自然数。mは偶数。p,qは奇数)
c,aはともに奇数よりc-aとc+aはともに偶数。
よってc-aとc+aは等しくないから
c-a=mp^2
c+a=mq^2
という組み合わせ以外ありえない。」
の部分は間違っています。
m,p,qは一意に決まらないのでc-aなどが何通りもあることになってしまいます。
たとえばb=30のときにはm=2,p=3,q=5かもしれないし、
m=2,p=15,q=1かもしれないし、それ以外かもしれません。
本質的には理解されていると感じられますので、あとは書き方だろうと思います。
No8の方のアドバイスを参考にして、論理的な証明にしていってください。
No.9
- 回答日時:
ANo.2はよく考えるとおかしいですね.例えば,i=2, j=4で互いに素でなくても
a=3, b=7でa, bは互いに素になっています.
『
a=2i-1
b=2j-1
とおける.(ただし,i,jはa, bが互いに素となるように選ばれる自然数.)
』
に訂正お願いします.
No.8
- 回答日時:
大学受験の時、普通に合同式を使っていた人間です。
なので、個人的には、合同式を使うことに問題ないと思うのですが...特に、京大の理系レベルなら、多数の受験生が合同式程度の知識はあるでしょうし。(でも、nablaさんが理系と思ってよいのかどうか…。文系の方ではどういう扱いなのか、分かりません。)
さて、#6さんへの補足についてです。
> aとcが互いに素でない。
の証明の部分は、答案の流れとしては、首をかしげる部分がありますが、証明としては問題ないと思います。
>そこでb=mpqとおける。
以降の部分はイマイチだと思います。
例えば、
>という組み合わせ以外ありえない。
とありますが、「a-c,a+cが等しくなく、共に偶数」という根拠だけでa-c=mp,a+c=mpq^2という組み合わせなどが排除できるのでしょうか?
ご質問に書いてある(2)の解き方、#6さんへの補足の後半部分を見て思ったことですが、
(a,b,c)=(n^2-m^2,2mn,n^2+m^2)と書ける、という事にとらわれすぎているいるように思います。なので,この問題を解く際にはこの事は忘れた方がいいと思います。
参考になるかは分かりませんが、私なら、
a+c,c-aを割り切る最大の平方数(最低限1^2で割り切れるので、このような"最大"の平方数は存在します)をM^2,N^2としたら、自然数α、βを使って
a+c=αM^2,c-a=βN^2
と表せますので、ここからα=2である事を証明します。(ついでに、β=2である事も証明できますね)
この回答への補足
>例えば、
>>という組み合わせ以外ありえない。
>とありますが、「a-c,a+cが等しくなく、共に偶数」>という根拠だけでa-c=mp,a+c=mpq^2という組み合わ>せなどが排除できるのでしょうか?
ここはもう少しちゃんと書くべきだったかもしれません。
(c-a)(c+a)=(mpq)^2
より組み合わせとしては
c-a=mp^2,c+a=mq^2
c-a=mp,c+a=mpq^2
c-a=m,c+a=mp^2q^2
が考えられる。
ただしはじめの場合はc+a>c-aよりq>p
ところが2番目の場合においてmp=m'p'=1とおくと、m'は偶数であり、p'は奇数であるから結局1番目の場合と同じ。
また3番目の場合でもp'=1,pq=q'とおけばp'、q'はともに奇数となり、やはりはじめの場合と同じ。
よって結局
c-a=mp^2,c+a=mq^2
の場合のみを考えればいい。
こんなもんでいいでしょうか
No.6
- 回答日時:
(1)については、細かいところを除けば証明できています。
細かいところとは、No3の方がご指摘の計算ミスと、i,jはa,bから決まるので「任意」ではないという点です。合同式を使うのが減点になるかは採点者次第ですが、
証明が正しいかどうかとは別問題です。
証明としては正しいので、へそ曲がりの人以外は減点しないと思います。(責任はもてません)
(2)は証明になっていません。
よく勉強なさっているのでこのような回答になると思いますが、証明は結論から始めてはいけません。
a+c=2d^2,c-a=2e^2となる自然数d,eが存在するので、
a=d^2-e^2,c=d^2+e^2
となる。と証明は進んでいくはずなので、逆方向なのです。
1=-1の両辺を二乗すると
1=1
となります。つまり、矛盾しない結論が出てきても、元が間違っていることはよくあることなのです。
(2)については最初から考え直したほうがよいと思います。
この回答への補足
aとcが互いに素でない。
すなわちkを1でない自然数として
a=kx
c=ky
とかけるとする。(ただしxとyは互いに素)
このとき
b^2=k^2(y^2-x^2)
となり、bはkの倍数。
これはaとbが互いに素であるという仮定に反する。
よってaとcは互いに素である。
また与式は
(c-a)(c+a)=b^2
と変形できる
ところでaは奇数であるためbは偶数
そこでb=mpqとおける。(m,p,qは自然数。mは偶数。p,qは奇数)
c,aはともに奇数よりc-aとc+aはともに偶数。
よってc-aとc+aは等しくないから
c-a=mp^2
c+a=mq^2
という組み合わせ以外ありえない。
ここでm=2iとおくと
a=i(q^2-p^2)
c=i(q^2+p^2)
となる。
aとcは互いに素であるという条件からi=1
よってa+c=2q^2となり題意は示された。
回答ありがとうございました。
やっぱり結論からはじめるのはダメなんですね。
補足のところにもう一度(2)の証明を書いたので見てもらえますか?
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