ピタゴラス数にからんだ整数問題

以下の問題を一応証明したのですが、論述に自信がありません。入試の採点でつっこまれそうなか所を指摘して欲しいです。（京大志望です）

自然数 a，b，c について，等式 a^2+b^2=c^2 が成り立ち，かつ a，b は互いに素とする。このとき，次のことを証明せよ。
(1) a が奇数ならば，b は偶数であり，したがって c は奇数である。
(2) a が奇数のとき，a+c=2d^2 となる自然数 d が存在する。

(1)
　a,bをともに奇数とすると
　i,jを任意の自然数として
　　a=2i-1
　　b=2j-1
とおける。
　すると、
　　a^2+b^2=(2i-1)^2+(2j-1)^2
　　　　　 =4(i^2+j^2)+4(i-j)+2=c^2
　よってcが奇数であるときc^2も奇数となるからcは偶数。
　よって
　　c=2k
とおく。
　すると、
　　0=a^2+b^2-c^2
　　 =4(i^2+j^2-k^2)+4(i-j)+2≡2(mod.4)
となって不合理。
　よってa,bがともに奇数とはなり得ない。
　よってaが奇数ならばbは偶数以外ありえない。

(2)
　m,n（m＜n）を自然数として
　　a=n^2-m^2
　　c=n^2+m^2
とおく。
　（a,cはともに奇数よりn,mのうち一方は偶数で一方は奇数）
　以下題意をみたす任意のa,cがこのようにあらわせることを示す。
　上の式をn^2,m^2について解くと
　　n^2=(c+a)/2
　　m^2=(c-a)/2
となる。
　よって
　　n^2m^2=(c^2-a^2)/4=b^2/4
　よって
　　b=2mn
となる。
　これはbが偶数であるという(1)に矛盾しない。
　よって上のようにa,b,cを表現することに不合理はない。（ただしm,nは互いに素とする。でないとa,b,cが互いに素であるという仮定に反する）
　またこれより題意をみたすとき
　　a+c=2n^2
　よって題意は示された。

(2)のa,cがm,nであのように表現できるという証明で、とりあえず矛盾はなさそうだからＯＫと言うような論法になってしまっている気がするのですが…
どうでしょうか？

No.5 回答者： turkey-yekrut 回答日時： 2004/10/13 01:11

4(i^2+j^2-k^2)+4(i-j)+2≡2(mod.4)

って、大学入試で使えるんですか…？
4を法とする合同（4でわると2あまる）ってことですよね？

(2)については、ほかの回答者の方と同じ意見です。
aとcのおきかたの証明が不十分な気がします。
bが偶数であることに矛盾しないというだけでは、
任意のa、cがそのように表せると示したことにはならないと思います。

この回答へのお礼

合同式を使ったことでこんなに指摘があるとは思いませんでした。
使った方がすっきりと回答できるので整数問題ではよく使うのですが…
ありがとうございました。
やっぱり(2)の証明は証明になってないですね。

お礼日時：2004/10/13 18:10

No.4 回答者： Quattro99 回答日時： 2004/10/13 00:29

すみません。

私がわかっていないだけかも知れませんが。

> 0=a^2+b^2-c^2
> =4(i^2+j^2-k^2)+4(i-j)+2≡2(mod.4)

ここの意味がわかりません。

また、(2)は

> 以下題意をみたす任意のa,cがこのようにあらわせることを示す。

とありますが、題意を満たす任意のa,cがそのように表せることを示しているのではなく、そのように表すことの出来るa,cでは矛盾が生じないということを示しているだけのように思うのですが。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
やっぱ合同式は使わない方が無難でしょうか？
京大は何でもありだと聞いているのですが…

お礼日時：2004/10/13 18:08

No.3 回答者： noname#8027 回答日時： 2004/10/13 00:28

（１）では、

>　　　　　 =4(i^2+j^2)+4(i-j)+2=c^2
計算ミス。
　　　　　 =4(i^2+j^2)-4(i+j)+2=c^2



>よってcが奇数であるときc^2も奇数となるからcは偶数。

前の式から導き出せる論述ではないので、
「ここで、cが奇数であるときc^2も奇数となるからcは偶数。」
の方がよいでしょう。



>≡2(mod.4)
自信はありませんが、数学的記述でないように思います。
この部分は無くてもよいと思います。
「右辺が４の倍数＋２となって不合理。」
という記述でどうでしょう。


>したがって c は奇数である。
自明ではあるが、説明が全くなされていない。



（２）では、
　　a=n^2-m^2
　　c=n^2+m^2　ならば矛盾はない

という事は示されていると思いますが、

a^2+b^2=c^2 を満たす全てのa,cについて、
　　a=n^2-m^2
　　c=n^2+m^2
と表せるとは証明されていないように思います。



[以下、解答の形式をなしていませんが・・・］
a^2+b^2=c^2
より、(c+a)(c-a)=b^2=4n^2
ｃ＋ａは偶数。ｃ－ａも偶数。
ｎの因数の一つをｍとすると、ｃ＋ａ＝２ｍｘ^2　ｃ－ａ＝２ｍｙ^2と仮定すると、
ｃ、ａを求めると、互いに素に反する。よって、ｃ＋ａ＝２ｄ＾２となるｄが存在する。

この回答へのお礼

計算ミスがあったとは…
気をつけます。

＞前の式から導き出せる論述ではないので、
＞「ここで、cが奇数であるときc^2も奇数となるからc＞は偶数。」
＞の方がよいでしょう。

確かにそうですね。

(2)は背理法で示すのですか。気付きませんでした。

ありがとうございました。

お礼日時：2004/10/13 18:06

No.2 回答者： Rossana 回答日時： 2004/10/13 00:02

(1)について

＞i,jを任意の自然数として
＞　　a=2i-1
＞　　b=2j-1
＞とおける。
i,jを互いに素な任意の自然数として
　　a=2i-1
　　b=2j-1
とおける。

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/10/13 18:01

No.1 回答者： Rossana 回答日時： 2004/10/12 23:49

(1)について

＞a,bをともに奇数とすると
「aが奇数であるときに，bも奇数であると仮定すると」ってした方が，bがメインという感じがしていいかも．

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/10/13 18:01