微分、積分の問題です。なぜ(β－α)^3/6になるのかが、わかりません。教えてください、お願いします

微分、積分の問題です。なぜ(β－α)^3/6になるのかが、わかりません。教えてください、お願いします(+_+)

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2018/04/05 15:12

まず、ｘ^ｎを微分するとｎｘ^ｎ-1　になるのは知られてますね。

ところがｘのかわりにｘ＋a（aは定数）をいれた　（ｘ＋a)^ｎを微分すると
同じようにｎ^(ｘ＋a)^ｎ-1　がなりたつのです。
これは数学的帰納法で簡単に証明できます。
したがってｘ^ｎの不定積分公式のｘのかわりにｘ＋aを入れた式もそのままなりたちます。
つまり(ｘ＋a)^ｎの不定積分は{(ｘ＋a)^ｎ+1}/ｎ+1　です。これを頭にいれといて
ｘ－β＝ｘ－α－(β－α)と変形したら
－(ｘ－α)(ｘ－β)＝－(ｘ－α)²＋(β－α)(ｘ－α)　となって
この左辺の不定積分F(ｘ)はさっきの注意から
F(ｘ)＝－(ｘ－α)³/3＋(β－α)(ｘ－α)²/2　になります。
ゆえに求める定積分はF(β)－F(α)＝F(β)－0＝－(β－α)³/3＋(β－α)³/2＝(β－α)³/6　です。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/05 01:26

α=－1－√2，β=－1+√2とすると、求める面積Sは

S=∫(α→β){－(x^2+2x－1)}dx=∫(α→β){－(x－α)(x－β)}dx
解法１
置換積分で、x=(α+β)/2+tとする。するとdx=dt。t＝x－(α+β)/2から、x=βとx=αの積分の上限、下限はt＝(β－α)/2とt＝－(β－α)/2となる。
(β－α)/2=aと書くと、積分の上限、下限はt＝aとt＝－aとなる。
S=∫(α→β){－(x－α)(x－β)}dx
=∫(－a→a){－((α+β)/2+t－α)((α+β)/2+t－β)}dt
=∫(－a→a){－(t+(－α+β)/2)( t +(α－β)/2)}dt
=∫(－a→a){－(t+ a)( t－a)}dt
=∫(－a→a){－t^2+a^2}dt
=[－(t ^3)/3+(a^2)t](－a→a)
=[－(a^3)/3+a^3]－[(a^3)/3－a^3]=(－1/3+1－1/3+1)a^3=(4/3)a^3
=(4/3)((β－α)/2)^3=(1/6)(β－α)^3
β－α=2√2を入れると
S=(1/6)(β－α)^3=(1/6)(2√2)^3=(8√2)/3
解法２
S=∫(α→β){－(x^2+2x－1)}dx
=[－(x^3)/3－x^2+x)](α→β)= [－(β^3)/3－β^2+β]－[－(α^3)/3－α^2+α]
=－(β^3)/3+(α^3)/3－β^2+α^2+β－α)①
因数分解β^3－α^3=(β－α)(β^2+αβ+α^2) =(β－α)((β+α)^2－αβ)
とβ^2－α^2=(β－α)(β+α)を利用して、
共通因数(β－α)をくくり出すと、
S=－(β－α)((β+α)^2－αβ)/3－(β－α)(β+α)+(β－α))
=(β－α){－((β+α)^2－αβ)/3－(β+α)+1}②
α=－1－√2，β=－1+√2から、
β－α=2√2，β+α=－2，αβ=(－1)^2－(√2)^2=－1。これを②に入れると
S=(β－α){－((β+α)^2－αβ)/3－(β+α)+1}②
=2√2{－((－2)^2－(－1))/3－(－2)+1}
=2√2{－(4+1)/3+2+1}=2√2{－5/3+3}=2√2{4/3}=(8√2)/3

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2018/04/04 23:03

その真ん中の積分は

ｘ＝ｔ＋α　(0≦ｔ≦β－α）とおいて置換積分したら右辺が出ます。つまり
－ｔ²＋(β－α)ｔのｔ＝0からｔ＝β－αまでの積分になります。