kを実数の定数とする。二次方程式x^2-kx+(k+3)=0･･･①は異なる2つの虚数解をもつ。 (

kを実数の定数とする。二次方程式x^2-kx+(k+3)=0･･･①は異なる2つの虚数解をもつ。

(１)定数kの取り得る値の範囲を求めよ。

(2)二次方程式①の異なる2つの虚数解をα、βとするとき、α^2+β^2をkを用いて表せ。
また、α^2+β^2=9となるkの値を求めよ。


この問題の回答をお願いします。

No.4 回答者： phyonco 回答日時： 2018/05/29 15:10

下のNo.3だが、和と積を間違えた。

無視して欲しい。No.1でよろしいと思う。

No.3 回答者： phyonco 回答日時： 2018/05/29 14:58

平方根をsqrt{...}と書くことにすると、①の根は

x = [k +- sqrt{ k^2 - 4(k+3)}] / 2
で+を選んだものと-を選んだものの２つある。それらをそれぞれα、βとする。
α、β が虚数解であるのは、上のsqrtの中身が負だということだから、
0 > k^2 - 4(k+3) = (k - 6)(k + 2)
つまり、　6 > k > -2 ということ。これが (1)の答え。
(2) は
α^2 + β^2 = (1/4)[ k + sqrt{...}]^2 [k - sqrt{...}]^2
= (1/4) [ k^2 + {...} + 2k sqrt{...}] [k^2 + {...} - 2k sqrt{...}]
= (1/4) [ (k^2 + {...})^2 - 4 k^2 {...} ]
= (1/4) [ k^4 - 2 k^2 {...} + {...}^2 ]
= (1/4) ( k^2 - {...} )^2
= (1/4) ( 4(k+3) )^2
= 4 (k+3)^2
これが = 9 となるのは、
4 (k+3)^2 = 9
両辺のルートをとる。
2 (k+3) = +- 3
すなわち
k = +-3/2 - 3 = -3/2, -9/2
の２つ。

No.2 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/05/25 23:36

「これもきょうかｓｙ」は誤字です。

無視してください。

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/05/25 23:35

(1)D=k^2－4k－12<0より、－2<k<6。

(2)α＋β=k、αβ=k+3より、α^2＋β^2=k^2－2k－6

k^2－2k－6=9より、k^2－2k－15=0から、(1)の条件よりk=5

これもきょうかｓｙ