力学の問題です。(1)の慣性モーメントを求める問題はわかるのですが、他の問題がどう運動方程式をたてれ

力学の問題です。(1)の慣性モーメントを求める問題はわかるのですが、他の問題がどう運動方程式をたてれば良いかわからず詰まっています。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/24 01:06

回転運動の運動方程式や運動エネルギーは理解していますか？

(2) 動摩擦力です。
動摩擦係数が μ なので
　　Fm = μ*M1*g

(3) この摩擦力によるトルクが、円柱1には「減速（マイナスの角加速度）」、円柱2には「加速（プラスの角加速度）」として働きます。
円柱1に働くトルクは Fm*r1 なので、運動方程式は
　　Fm*r1 = -I1*dω1/dt
です。動摩擦力、慣性モーメントをきちんと書けば
　　μ*M1*g*r1 = -(1/2)M1*r1^2 *dω1/dt
→　μ*g = -(1/2)*r1*dω1/dt　　　　　　　　　①

円柱2に働くトルクは Fm*r2 なので、運動方程式は
　　Fm*r2 = I2*dω2/dt
です。動摩擦力、慣性モーメントをきちんと書けば
　　μ*M1*g*r2 = (1/2)M2*r2^2 *dω2/dt
→　μ*M1*g = (1/2)M2*r2*dω2/dt　　　　　　②

(4) 上記の運動方程式から、ω1(t)、ω2(t) を求めればよいです。
・円柱1：①より
　　dω1/dt = -μ*g /[(1/2)*r1] = -2μ*g /r1
　これを積分して
　　ω1(t) = -(2μ*g /r1)t + C1
　t=0 のとき ω1(0) = ω0 なので C1 = ω0 で
　　ω1(t) = ω0 - (2μ*g /r1)t　　　　　　③

・円柱2：②より
　　dω2/dt = μ*M1*g /[(1/2)M2*r2] = 2μ*M1*g /[M2*r2]
　これを積分して
　　ω2(t) = {2μ*M1*g /[M2*r2]}t + C2
　t=0 のとき ω2(0) = 0 なので C2 = 0 で
　　ω2(t) = {2μ*M1*g /[M2*r2]}t 　　　④

(5) 「滑りがなくなる」というのは、円筒1、２ の「周速度」が等しくなるということです。
③、④より、各々の周速度は
　　v1(t) = r1*ω1(t) = r1*ω0 - 2μ*g*t
　　v2(t) = r2*ω2(t) = { 2μ*M1*g /M2 }t

滑りがなくなったときにはこれらが等しくなるので、そのときの時刻 ts は v1(ts) = v2(ts) より
　　r1*ω0 - 2μ*g*ts = { 2μ*M1*g /M2 }ts
→　{ 2μ*g + 2μ*M1*g /M2 }ts = r1*ω0
→　ts = r1*ω0/{ 2μ*g + 2μ*M1*g /M2 }
　　　= r1*ω0*M2/{ 2μ*g(M1 + M2) }

このとき③、④より、
　　ω1(ts) = ω0 - (2μ*g /r1)*r1*ω0*M2/{ 2μ*g(M1 + M2) }
　　　　　= ω0 - ω0*M2/(M1 + M2)
　　　　　= ω0*M1/(M1 + M2)
　　ω2(ts) = {2μ*M1*g /[M2*r2]}*r1*ω0*M2/{ 2μ*g(M1 + M2) }
　　　　　= {M1/r2}*r1*ω0/(M1 + M2)
　　　　　= ω0*(r1/r2)*M1/(M1 + M2)
　　
(6) 接触前の運動エネルギー：円筒１の回転のみ
　　E1 = (1/2)I1*ω0^2 = (1/2)(1/2)M1*r1^2*ω0^2 = (1/4)M1*r1^2*ω0^2

滑りがなくなったときの運動エネルギーは
　　E2 = (1/2)I1*ω1(ts)^2 + (1/2)I2*ω2(ts)^2
　　　 = (1/2)(1/2)M1*r1^2*[ ω0*M1/(M1 + M2) ]^2 + (1/2)(1/2)M2*r2^2*[ ω0*(r1/r2)*M1/(M1 + M2) ]^2
　　　 = (1/4)r1^2*ω0^2*M1^3/(M1 + M2)^2 + (1/4)r1^2*ω0^2*M1^2*M2/(M1 + M2)^2
　　　 = (1/4)r1^2*ω0^2*(M1^3 + M1^2*M2) /(M1 + M2)^2
　　　 = (1/4)r1^2*ω0^2*M1^2 /(M1 + M2)

従って、失ったエネルギーは
　　ΔE = E1 - E2 = (1/4)M1*r1^2*ω0^2 - (1/4)r1^2*ω0^2*M1^2 /(M1 + M2)
　　　 = (1/4)M1*r1^2*ω0^2 [ 1 - M1/(M1 + M2) ]
　　　 = (1/4)M1*r1^2*ω0^2 [ 1 - M1/(M1 + M2) ]
　　　 = (1/4)r1^2*ω0^2 M1*M2/(M1 + M2)

「考え方」は上のような感じです。ただし、計算式には「計算間違い」があるかもしれませんので、自分で確認しながらトレースしてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。とても分かりやすかったです。もっと勉強しようと思います。

お礼日時：2018/06/24 08:38