高校数学(証明) (cosθ+isinθ)^n=cos nθ+i sinθ が成り立つことを数学的帰

高校数学(証明)

(cosθ+isinθ)^n=cos nθ+i sinθ
が成り立つことを数学的帰納法で証明してください。
(θは実数)

簡単にかつわかりやすくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/07/24 15:33

i>

(cosθ+isinθ)^0=1
cos0θ+isin0θ=1
よって n=0 の時に成り立つ。

ii>
(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ)=1
(cosθ+isinθ)^-1
=cosθ-isinθ
=cos(-θ)+isin(-θ)
よって n=-1 の時にも成り立つ。

iii>
(cosθ+isinθ)^k=coskθ+isinkθ
が成り立つと仮定すると
(cosθ+isinθ)^(k+1)
=(cosθ+isinθ)(coskθ+isinkθ)
=(cosθcoskθ-sinθsinkθ)+i(sinθcoskθ+cosθsinkθ)
=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ

iv>
(cosθ+isinθ)^k=coskθ+isinkθ
が成り立つとすると
(cosθ+isinθ)^(k-1)
=(cosθ+isinθ)^-1 (cosθ+isinθ)^k
=(cosθ-isinθ)(coskθ+isinkθ)
=(cosθcoskθ+sinθcoskθ)+i(sinkθcosθ-sinθcoskθ)
=cos(k-1)θ+isin(k-1)θ

i〜iv より
(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
{θは全実数, n は全整数}


数学的帰納法での証明では n が整数の場合までしか証明できませんが、実は実数まで拡張しても成り立ちます。
オイラーの公式
cosθ+isinθ=e^iθ
によって更に応用範囲が広がります。

No.2 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/23 23:40

(cosθ+isinθ)^n=cos nθ+isinnθ・・・・・①

ｎ=kのとき、①が成立するとする。
(cosθ+isinθ)^k=coskθ+isinkθ
上式に、(cosθ+isinθ)を掛けて
(cosθ+isinθ)^(k+1)=(coskθ+isinkθ)( cosθ+isinθ)
= (coskθcosθ-sinkθsinθ)+i(sinkθcosθ+sinθcoskθ)
=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ
となり、n=k+1のときも①が成立する。
また、n=1のとき、明らかに①は成立する。
したがって、①は任意のｎに対して成立する。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/07/23 23:36

どこがわからないのですか?