この問題教えてください！高校数学

この問題教えてください！高校数学

質問者からの補足コメント

• 夏休みの課題ではなく、海保大・気象大の赤本です。記述は解説が載っているのですが、マーク式は答えのみで解説が載っていないため、解いて間違えた問題をここで質問しています。

    補足日時：2018/08/02 11:35

No.2 ベストアンサー 回答者： fef 回答日時： 2018/08/02 15:46

ベクトル同士のなす角を求めたいので，定石通りに「内積から逆算する」ことを考えましょう．

ベクトル b, c のなす角をθとすると，内積 b・c は
　b・c = |b| |c| cosθ
と書き直すことができ，したがって，
　cosθ = b・c / (|b| |c|)　……(1)
となりますね．
式(1)の右辺の値を計算することができれば cosθ を求めることができ，そこからθを求めることができます．

さて，与えられた条件を使って式(1)の右辺の値を求められないでしょうか？
ここで，与えられた二つの条件式のうち
　a + 5 b + 9 c = 0
に注目しましょう．
こちらの条件には，今のところ，内積 b・c も絶対値 |b|, |c| も登場していませんね．
そこで，なんとかしてこれらを登場させられないかと考えます．
どうでしょう？ 「両辺にベクトル b やベクトル c を掛ける」というアイデアが出てきませんか？

実際に両辺にベクトル b を掛けてみましょう．
すると，
　a・b + 5 |b|^2 + 9 b・c = 0
という式が得られますね．
与えられた条件
　a・b = b・c
を用いれば，この式は
　5 |b|^2 + 10 b・c = 0
と書き直すことができ，ここから
　|b|^2 = -2 b・c,
すなわち
　|b| = sqrt(-2 b・c)　……(2)
という式が得られます．
また，
　b・c < 0　……(3)
ということもわかりますね．

次はベクトル c を掛けてみましょう．
すると，
　c・a + 5 b・c + 9 |c|^2 = 0
という式が得られ，与えられた条件
　c・a = b・c
を用いて先ほどと同じように計算していけば，
　|c| = sqrt(-(2/3) b・c)　……(4)
という式が得られます．

こうして得られた式(2), (4)を用いると，
　|b| |c|
　= sqrt(-2 b・c) sqrt(-(2/3) b・c)
　= (2/sqrt(3)) sqrt((b・c)^2)
　= (2/sqrt(3)) |b・c|
　（∵ sqrt(x^2) = |x|　← 絶対値がつくことに注意）
と計算できますね．
さらに，式(3)の条件も加味すれば，
　|b| |c| = (2/sqrt(3)) |b・c| = -(2/sqrt(3)) b・c
と計算できます．
この結果を式(1)に代入すれば，
　cosθ = b・c / (|b| |c|) = -sqrt(3)/2
となり，したがって，
　θ = 150°
とわかるわけです．

この回答へのお礼

遅れてすみません…様々な質問の回答ありがとうございます！ここでまとめてお礼させていただきます！

お礼日時：2018/08/05 21:24

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/08/02 11:08

宿題や課題は、ちゃんと自分でやりましょうね。

夏休みまでの範囲で、理解できていないところをきちんと理解するチャンスですから。これを逃すと、そのチャンスは二度とやってきませんし、夏休み明け以降が「わからん」の連続になりますから。

あなたの答の添削なら、できる範囲で承ります。