この問題を解いてみてください!
1、基本ベクトル(x,y,z方向の単位ベクトル)をI,J,Kとするとき
I*I=J*J=K*K=0
I*J=-J*I=K,J*K=-K*J=I,K*I=-I*K=J
を証明せよ。
2、ベクトルA.B,CにおいてA・(B*C)=0が成立すれば、A,B,Cは同一
平面上にあることを証明せよ。
説いてくださるととてもうれしい!!

A 回答 (4件)

回答は出揃っていますから、それ以上必要はないでしょう。



これはベクトルについての基本ですから、確り理解しておきましょう!
karu42さん頑張ってネ!

参考URL:http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/MU …
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*は×(外積)ですよね?



I=(1、0、0)
J=(0、1、0)
K=(0、0、1)

と具体的に書いて行列式を計算しましょう。

または、右ねじの法則を使いましょう。試しに2問目で使ってみましょう。

ベクトルA、ベクトルB、ベクトルCがあるとき、

ベクトルB×Cは、BからCに向かってネジを回したときにネジが進む向きに指します。従って。ベクトルB×CはベクトルB、ベクトルCに直交するベクトルです。もっと言えば、ベクトルBベクトルCがこの順序で張る平面の法線ベクトルに一致します。ベクトルB×CとベクトルAの内積が今0なので、ベクトルB×CとベクトルAは直交します。とすると、ベクトルAはどこに行けばいいのかおのずと分かりますね?ベクトルB×C(=平面BCに直交する法線ベクトルの向き)とベクトルAは直交するのですから。

このことを実際の空間で確めるには、1問めのI,J、Kを使ってI・(J*K)を計算してみてください。ゼロになりますか?なりませんか?次に例えば、D=3J+2KとなるベクトルDを用いて、D・(J*K)を計算してみてください。今度はちゃんとゼロになりましたでしょうか?そしてこのベクトルDはどういうベクトルでしょうか?確めてみてください。
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2つのベクトルをa,bの外積をc=a×bとすると、幾何学的には次の3つの性質を持ちます。


1.長さはベクトルa,bの張る平行四辺形の面積に等しい。
2.cはa,bの両方に垂直である。
3.a,b,cは右手系をなす。

代数的にいうと
    a=(a1, a2, a3)
    b=(b1, b2, b3)
    c=(c1, c2, c3)
として
    c1 = a2*b3 - a3*b2
    c2 = a3*b1 - a1*b3
    c3 = a1*b2 - a2*b1
です。

問題1に関しては「x,y,z方向の単位ベクトル」と成分が与えられているので
    I=(1,0,0), J=(0,1,0), K=(0,0,1)
を上の代数的な定義に代入してやればほとんど自明に解けます。

問題2も同様に代数的に解いていきましょう。
    A=(a1, a2, a3)
    B=(b1, b2, b3)
    C=(c1, c2, c3)
さらにD=B×Cとして
    D=(d1, d2, d3)
さて、まず、Dを求めましょう。
    d1 = b2*c3 - b3*c2
    d2 = b3*c1 - b1*c3
    d3 = b2*c2 - b2*c1
こうすると
    B・D = b1*d1 + b2*d2 + b3*d3
    = b1(b2*c3 - b3*c2) + b2(b3*c1 - b1*c3) + b3(b2*c2 - b2*c1)
    = 0
同様にC・D = 0 も確かめられます。
更に仮定よりA・D = 0

よってベクトルA,B,CはDを法線ベクトルとする平面上にある事が示されました。
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ベクトルの基本性質を理解するいい問題です。


たぶん、力学などのテキストに載っていると思うので、そちらを参照してみて下さい。
でも、これではあまりに無責任なんで、私なりのベクトルのイメージ的な理解の
仕方をアドバイスします。

ベクトル*ベクトル=ベクトルです。つまり、向きをもつのがポイントです。
この点が内積との大きな違いです。さらに、その向きは右ネジの方向に従いますから、
i*jとj*iは符号が異なるのですね。
k,m,nが、お互いに垂直な単位ベクトルであるとき、1.のようなことがいえるのです。
でも、これってあたり前といってしまえばそれまでですし、証明は難しいですよね。
僕も基本定理の証明は苦手です。。。図を書いてみると分かりやすいですよ。

2.について。a・(b*c)はa,b,cを辺とする平行六面体(a,b,cを辺とする箱)の
体積のことなんですね。なぜそうなるかは考えてみて下さい。図を書いてみると
わかりますよ。このことより、a・(b*c)=0となるときのベクトルの関係は分かりますね。

それにしても、証明って難しいですよね。
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