この問題の解答解説わかる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします。 数3の積分の範囲です。よろしく

この問題の解答解説わかる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします。
数3の積分の範囲です。よろしくお願いします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/24 12:10

この前半だけを別質問にしていましたね？

n=2 なら、いろいろな解き方ができてしまいます。
ここでは「部分積分」を使えということで、そのための「腕試し」のために前半に n=2 の例題があるのですね。前後をバラバラに考えるのではなく、そういう「全体の流れ」「出題者の意図」を考えた方が解き方を見つけやすいです。

n=2 なら
I2 = ∫[0, パイ/2]sin^2(x)dx = ∫[0, パイ/2]{ -cos(x) }'*sin(x)dx
= [-cos(x)*sin(x) ][0, パイ/2] + ∫[0, パイ/2]cos(x)*{sin(x)}'dx
= 0 + ∫[0, パイ/2]cos^2(x)dx
= ∫[0, パイ/2]{1 - sin^2(x) }dx
= ∫[0, パイ/2]1dx - ∫[0, パイ/2]sin^2(x)dx
= [x][0, パイ/2] - I2
よって
　2I2 = パイ/2
→　I2 = パイ/4　　　←これが「ア」

これができれば、これを n+2 に適用して

I(n+2) = ∫[0, パイ/2]sin^(n+2)(x)dx = ∫[0, パイ/2]{ -cos(x) }'*sin^(n+1)(x)dx
= [-cos(x)*sin^(n+1)(x) ][0, パイ/2] + ∫[0, パイ/2]cos(x)*{sin^(n+1)(x)}'dx
= 0 + ∫[0, パイ/2]{ cos(x)*(n+1)sin^n(x)*cos(x) }dx
= (n+1)∫[0, パイ/2]{ cos^2(x)*sin^n(x) }dx
= (n+1)∫[0, パイ/2]{ [ 1 - sin^2(x) ]*sin^n(x) }dx
= (n+1)∫[0, パイ/2]{ sin^n(x) - sin^(n+2)(x) }dx
= (n+1)∫[0, パイ/2]sin^n(x)dx - (n+1)∫[0, パイ/2]sin^(n+2)(x)dx
= (n+1)I(n) - (n+1)I(n+2)
よって
　(n+2)I(n+2) = (n+1)I(n)
→　I(n+2) = [(n+1)/(n+2)]I(n)　　　←これが「イ」

これと「ア」を使って
　　I8 = (7/8)I6 = (7/8)(5/6)I4 = (7/8)(5/6)(3/4)I2
　　　= [(7*5*3)/(8*6*4)] * パイ/4
　　　= (35/256)パイ