教えてください！数学です！

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No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/10/26 14:48

加法定理を１から導き出す方法

原点Oを中心とする単位円上にx軸からの角度αと角度βの動径（半径）をかく。（α＞β）
2つの動径と、円の交点をA,Bとすると三角関数の定義からそれぞれの座標は
A(cosα、sinα),B(cosβ、sinβ）である。
２つの動径を2辺とする三角形OBAにおいて角Oに関する余弦定理
⇒AB²=OA²＋OB²-2OAOBcos∠O
⇔(cosβ-cosα)²＋(sinβ-sinα)²=1²＋1²-2・１・cos(α-β) ・・・(∵角O=αｰβ）
⇔1-2cosαcosβ+1-2sinαsinβ=1²＋1²-2・１・cos(α-β)
⇔cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)・・・①　←←←加法定理の1つが現れた

①でβ＝-Bとすれば
cos(α+B)=cosαcos(-B)+sinαsin(-B)=cosαcosB-sinαsinB
（∵cos(-B)=cosB,sin(-B)=-sinB)
Bをβに置き換えて
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ　・・・②　←←←加法定理

①においてα=Π/2-Aとすると
cos{(Π/2-A)-β}=cos(Π/2-A)cosβ+sin(Π/2-A)sinβ
⇔sin(A+β)=sinAcosβ+cosAsinβ 　　　←←←加法定理
(∵sin(Π/2-θ)=cosθ、cos(Π/2-θ)=sinθを用いれば右辺の変形は容易、
左辺もθ=A+βとすればcos{(Π/2-A)-β}=cos{Π/2-(A+β)}=cos(Π/2-θ)=sinθ=sin(A+β)

Aをαにおきかえれば
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ・・・③
②③を用いて
tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)
=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)
={(sinαcosβ+cosαsinβ)÷cosαcosβ}/{(cosαcosβ-sinαsinβ)÷cosαcosβ}
=(tanα＋tanβ)/(1-tanαtanβ)・・・④

④においてβを-βで置き換えると
tan(α-β)
={tanα＋tan(-β)}/{1-tanαtan(-β)}
=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
(∵tan(-β)＝-tanβ)

このようにやるのが普通ですね
途中でβ＝-B、α=Π/2-Aと１クッション置きましたが、意味さえ分かっていれば直接的に
βを-β、αをΠ/2-αに置き換えるとしても良いです￥＾＾

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/10/26 23:07

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2018/10/25 22:04

tan(α+β)＝sin(α+β)/cos(α+β)　①

sinとcosの加法定理
sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ　
cos(α+β)＝cosαcosβ-sinαsinβ　より①は

tan(α+β)＝(sinαcosβ+cosαsinβ)　/　(cosαcosβ-sinαsinβ)　となる　この分子と分母を　cosαcosβ　で割る
＝(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ)　/　(cosαcosβ-sinαsinβ)/(cosαcosβ)　
＝(sinα/cosα+sinβ/cosβ)　/　(1-(sinαsinβ)/(cosαcosβ))
＝(tanα+tanβ)　/　(1-tanαtanβ)


tan(α-β)＝sin(α-β)/cos(α-β)　➁

sinとcosの加法定理
sin(α-β)＝sinαcosβ-cosαsinβ　
cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ　より➁は

tan(α-β)＝(sinαcosβ-cosαsinβ)　/　(cosαcosβ+sinαsinβ)　となる　この分子と分母を　cosαcosβ　で割る
＝(sinαcosβ-cosαsinβ)/(cosαcosβ)　/　(cosαcosβ+sinαsinβ)/(cosαcosβ)　
＝(sinα/cosα-sinβ/cosβ)　/　(1+(sinαsinβ)/(cosαcosβ))
＝(tanα-tanβ)　/　(1+tanαtanβ)

1も2もやり方は全く同じですsinとcosの加法定理を利用して計算するだけです

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/10/26 23:07

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2018/10/25 21:53

tan を sin と cos に変換

この回答へのお礼

なるほどーありがとうございます！

お礼日時：2018/10/26 23:07