おしえて

問) 一辺の長さがaの正四面体ABCDにおいて、辺AB、CDの中点をそれぞれE、Fとするとき、AB⊥

解決済

質問者：ゲーマート
質問日時：2018/10/31 21:34
回答数：3件

問) 一辺の長さがaの正四面体ABCDにおいて、辺AB、CDの中点をそれぞれE、Fとするとき、AB⊥EFであることをベクトルを用いて証明せよ。

解説お願いします。

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

回答 (3件)

No.3

回答者： konjii
回答日時：2018/11/01 13:24

ＥＦ↑＝ＡＥ↑ーＡＦ↑、但し｜ＡＥ↑｜＝a/2、｜ＡＦ↑｜＝√３a/2、

ＥＦ↑・ＡＥ↑＝ＡＥ↑・ＡＥ↑ーＡＦ↑・ＡＥ↑、
　　　　　　　＝｜ＡＥ↑｜²－｜ＡＦ↑｜・｜ＡＥ↑｜cos∠ＥＡＦ
cos∠ＥＡＦは余弦定理から
cos∠ＥＡＦ＝｛a²＋（√３a/2）²－（√３a/2）²｝/2*a*√３a/2=a²/a²*√３＝１/√３
よって、
ＥＦ↑・ＡＥ↑＝｜ＡＥ↑｜²－｜ＡＦ↑｜・｜ＡＥ↑｜cos∠ＥＡＦ
　　　　　　　＝a²/4－√３a/2＊a/2＊１/√３
=0
ＥＦ↑とＡＥ↑の内積はゼロなので、ＥＦ↑とＡＥ↑は直交する。
以上

- 0
- 件

通報する

この回答へのお礼

ありがとうこざいます！

通報する

お礼日時：2018/11/01 16:44

参考程度に

No.2ベストアンサー

回答者： 20170130
回答日時：2018/11/01 11:20

ベクトルを用いた証明で直交は内積が0となること

基本的な手順は次の通り

１）基本ベクトルを3つ決める
（解答者の任意に定めて良いが3つとも同じ平面上のベクトルにならないようにすること）
例　ABベクトル、ACベクトル、ADベクトル
だめな例　ABベクトル、ACベクトル、BCベクトル

２）ABベクトル、EFベクトルを上で定めた基本ベクトルの和で表す

３）ABベクトルとEFベクトルの内積を計算し0になることを示す
（計算には基本ベクトル間の内積が必要になるので全ての辺の長さがaの四面体（三角錐）であることを活用する）

例えば　ABベクトルとACベクトルの内積は△ABCが辺の長さがaの正三角形だから
(1/2)*(a^2)となる