1番で絶対値についてわからずに混乱しています。 詳しい解説をお願いします。

1番で絶対値についてわからずに混乱しています。
詳しい解説をお願いします。

質問者からの補足コメント

• 絶対値なので場合分けするのはわかります。

    補足日時：2018/11/25 12:46

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/11/27 16:57

＞1番で絶対値についてわからずに混乱しています。

＞絶対値なので場合分けするのはわかります。

では、何について混乱しているのですか？

絶対値は「必ず正」ですから、
　A ≧ 0 のとき |A| = A
　A < 0 のとき |A| = -A （>0）
というだけのことです。

これさえ分かっていれば、どんくさく「絶対値内が正か負かの場合に分けて」やるだけです。

(1) は
　x + t ≧ 0 か x + t ≦ ０か
で分けます。これはつまり
　-t ≦ x か x ≦ -t か
ということです。
このとき、t は t<0 という条件ですから、0<-t であって

・0 < -t ≦ 2 （-2 ≦ t < 0）だったら、x:-1～2 に対して、
　　-1≦x≦-t のとき x + t ≦０
　　-t≦x≦2 のとき x + t ≧０

・2 < -t （t<-2）だったら、x:-1～2 に対して、常に x + t <０

ということになります。

これを使って絶対値を外します。

・-2 ≦ t < 0 の場合
　∫[-1→2]|x + t|dx = ∫[-1→-t]{ -(x + t) }dx + ∫[-t→2](x + t)dx
= [-x^2 /2 - tx][-1→-t] + [x^2 /2 + tx][-t→2]
= -t^2/2 + t^2 + 1/2 + (-t) + 2^2/2 + 2t - t^2/2 - (-t^2)
= t^2 + t + 5/2

・t<-2 の場合
　∫[-1→2]|x + t|dx = ∫[-1→2]{ -(x + t) }dx
= [-x^2 /2 - tx][-1→2]
= -4/2 - 2t + 1/2 + (-t)
= -3t - 3/2


検算として、上の2つの「場合分け」は t=-2 で連続するはずなので
・上の場合：
　積分値 = (-2)^2 + (-2) + 5/2 = 4 - 2 + 5/2 = 9/2
・下の場合：
　積分値 = -3(-2) - 3/2 = 6 - 3/2 = 9/2
で一致します。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/11/25 17:14

絶対値月の場合のグラフは

y=x+tのグラフでx軸より下になる部分をx軸で折り返すことで書けます。
tの値によって折り返す部分は変化します。
ｘ＋ｔ＝０と置いてその折り返し点を調べると、その座標が(-t,0)と分かります。
したがって画像の積分範囲にこの折り返し点が入る場合と、入らない場合で分ける必要がありそうです。
題意よりt<0⇔-t>０であることに留意して
・折り返し点が積分区間の範囲に入る場合
すなわち0<-t<2⇔-2<t<0の場合
折り返し部分で分割してグラフの面積を求めることになります
定積分=∫[-1～-t](-x-t)dx+∫[-t～2](x+t)dx
=[-x²/2-tx]{区間-1～-t}+[x²/2+tx]{区間ｰt～-2}
＝(t²+1/2-t)+(2-2t+t²/2)
以下計算

・折り返し点が積分区間の範囲に入らない場合
すなわち２≦-t⇔t≦-2なら
積分区間のグラフはf(x)=|x-t|は
f(x)＝ｰx-tとなるから
定積分=∫(-x-t)dx=[-x²/2-tx] (積分区間x=-1からx=2）
あとはｔを数字扱いして文字ｘを積分です

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2018/11/25 12:39

数学1の参考書に詳しく書かれている。