中3のの図形の証明について 図のように三角形ABCがある。辺BCの中点をMとし、線分AM上に任意の点

中3のの図形の証明について

図のように三角形ABCがある。辺BCの中点をMとし、線分AM上に任意の点Oをとる。直線COと辺ABの交点をP、直線BOと辺ACの交点をQとするとき、BC//PQであることを証明せよ。

ベクトルを使えば証明できるのですが、あくまでも中学生までの解き方で教えていただきたいです！

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/02 21:06

チェバの定理から

AP/PB・1/1・QC/QA=1
∴ AP/PB=AQ/CQ
∴AP:PB=AQ:QC
以下省略

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/01/02 02:46

図のように三角形ABCがある。

辺BCの中点をMとし、線分AM上に任意の点Oをとる。直線COと辺ABの交点をP、直線BOと辺ACの交点をQとするとき、BC//PQであることを証明せよ。

直線AMの延長上の点Dを、OM=MDに取る。すると、
四辺形OBDCは平行四辺形になる。従ってPC//BD，BQ//DC。
よってAP：AB=AO：AD、AO：AD=AQ：ACとなる。
AP：AB=AQ：ACだからPQ//BCである。

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/01 22:57

メネラウスの定理から

Cと△ABMから
AP/BP・BC/CM・MO/OA=AP/BP・2/1・MO/OA=1 ……(1)
Bと△ACMから
AQ/QC・BC/BM・MO/OA=AQ/QC・2/1・MO/OA=1 ……(2)
よって
AP/BP=AQ/QC 及び ∠BACが共通な三角形である
△APQと△ABCは相似関係であるから、PQ平行BCである。