三重積分についての問題です｛ (x,y,z)0≦x≦y≦z≦1｝ ∫∫∫x^2yz dxdydz

Question

三重積分についての問題です
｛ (x,y,z)0≦x≦y≦z≦1｝ 
∫∫∫x^2yz dxdydz
この時の範囲のとり方がわかりません
0≦x≦1
0≦y≦1
0≦z≦1
では回答とあいませんでした
答えは1/105です
よろしければ回答お願いします

majimelon37 · Accepted Answer

三重積分｛ (x,y,z)0≦x≦y≦z≦1｝ 
∫∫∫x^2yz dxdydzの範囲

１、左上図は立方体OABCDEFGを示し、不等式では
0≦x≦1，0≦y≦1，0≦z≦1となる。
これに対し、不等式0≦x≦y≦z≦1の中には、x≦yとy≦zという式が入っているので、
範囲は立方体OABCDEFGにはなりません。
２、左上図y≦zの不等式は、y=zが境界面です。境界面は長方形OAFGで、この面より下側を切捨てる。
　x≦yの不等式は、x =yが境界面です。境界面は長方形OBFDです。で、この面より手前側を切捨てるが、長方形OBFDと長方形OAFGは直線OFで交わるので、実際の断面は三角形OFDとなる。
３、下左図：切り捨てて残った領域は四面体OFGDで、これが、0≦x≦y≦z≦1の領域になる。
三角形ODGの平面はx=0で、積分の出発点となる。x軸と平行に積分領域を進むと、三角形OFDにぶつかる。この面はx=yで、xの積分の終点である。yの積分は、y軸と平行に積分領域を進むと、三角形OFGにぶつかる。この面はy=zで、yの積分の終点である。この面は、また、zの積分はz軸と平行に積分領域を進むと、三角形DFGにぶつかる。この面はz=1で、zの積分の終点である。
下左図で四面体OFGDを高さzの位置で切ると。断面は三角形HIJになる。この三角形の厚さdzの領域の積分h(z)を計算し、それをz＝０から1まで積分すると三重積分Ｉになる。
４、下右図、被積分関数をf(x，y．z)＝x ²yz を求めるには、y，zを決めた所(矢印)で、xの積分の(0～y)を行い
g(y,z)dydz=∫(0～y)x ²yz dxdydz=[ x³/3](0～y)yzdydz=(y⁴z/3)dydz
これをyの範囲(0～z)で積分すると
h(z)dz=∫(0～z)g(y,z)dydz=∫(0～z) y⁴z/3dydz=∫(0～z) y⁴dy(z/3)dz
=[y⁵/5](0～z)(z/3)dz=(z⁵/5)(z/3)=(z⁶/15)dz
I =∫(0～1)h(z)d z=∫(0～1) (z⁶/15)d z=[z ⁷/7](0～z) (1/15)=1/105

Ae610 · Answer

ANo.3・・!
ミスった・・! 
　申し訳ない　 <(_ _)>

#3解答撤回・・!

Ae610 · Answer

∭{x²yz}dxdydz　　{(x,y,z)|0≦x≦y≦z≦1}
=1/105・・??　(計算してもそうならんが・・!?)

∭{xyz²}dxdydz　　{(x,y,z)|0≦x≦y≦z≦1}
・・ではなくて・・!?

Tacosan · Answer

2重積分で
0 ≦ x ≦ y ≦ 1
という範囲だったら, どうしますか?

Tacosan · Answer

範囲は
0≦x≦y≦z≦1
じゃないかなぁ.

0≦x≦1
0≦y≦1
0≦z≦1
がどのような範囲でどうしてそう思ったのかしらんけど.

三重積分についての問題です ｛ (x,y,z)0≦x≦y≦z≦1｝ ∫∫∫x^2yz dxdydz

三重積分｛ (x,y,z)0≦x≦y≦z≦1｝

ANo.3・・!

∭{x²yz}dxdydz {(x,y,z)|0≦x≦y≦z≦1}

2重積分で

範囲は

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