第二次導関数

dx/dｙという表し方は分数のように扱えますが、それだけ考えると第二次導関数のとき媒介変数表示をされたｘ、ｙの関数において(d^2x/dt^2)/(d^2y/dt^2)でもよいように感じますが、実際は違います。これはなぜでしょうか？そして、分数のように扱えるというのはどこまで言えるのでしょうか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/21 18:23

x = x(t),

y = y(t)　と媒介変数表示されているとき
x = F(y)　と置くと、
x(t) = F(y(t))　が恒等式になります。

この式を t で1回微分すると、合成関数の微分法則より
dx/dt = (dF/dy)(dy/dt)　となって
dF/dy = (dx/dt)/(dy/dt)　が成り立ちます。
これは、確かに右辺の約分であるかのようにも見えます。

しかし、更に t でもう1回微分すると、積の微分法則より
d^2x/dt^2 = (d^2F/dy^2)(dy/dt)^2 + (dF/dy)(d^2y/dt^2)
となって、
この式は d^2x/dt^2 = (d^2F/dy^2)(d^2y/dt^2)　ではありません。
よって、d^2F/dy^2 = (d^2x/dt^2)/(d^2y/dt^2)　にはなりません。

もう一点、
(d^2x/dt^2)/(d^2y/dt^2)　を約分したところで
= d^2x/d^2y　となるだけで、
= d^2x/dy^2　にはならないことも確認しておきましょう。

d^2x/dy^2 = d(dx/dy)/dy　であって
d^2x/dy^2 = dx^2/dy^2　ではないんです。
この辺が、勘違いの源のような気はします。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2019/03/24 23:13

> dx/dｙという表し方は分数のように扱えますが

とおっしゃるのは
　　dx/dy = (dx/dt)/(dy/dt)
ってことですかね。右辺を形式的に約分すると左辺になる。で、

> 第二次導関数のとき媒介変数表示をされたｘ、ｙの関数において(d^2x/dt^2)/(d^2y/dt^2)でもよいように感じ

　その式を形式的に約分すると、
　　(d^2 x)/(d^2 y)
になって、(yによるxの)二階微分
　　(d^2 x)/(dy)^2
とは明らかに違いますよね。なのに、どうしてそう「感じ」ちゃうんだろうか？