5桁の整数Nについて、Nの万の位をa、千の位をb、百の位をc、十の位をd、一の位をeとする。Nが11

5桁の整数Nについて、Nの万の位をa、千の位をb、百の位をc、十の位をd、一の位をeとする。Nが11で割り切れるための必要十分条件はa-b+c-d+eが11の倍数であることを示せ。また、各桁の数字がすべて異なる5桁の整数のうち、22で割り切れる最大の整数を求めよ。

解説お願いします！

No.4 ベストアンサー 回答者： neKo_deux 回答日時： 2019/04/08 14:58

桁数減らして、

> 百の位をc、十の位をd、一の位をeとする。

3桁の整数は、
100c + 10d + e
と書けます。

11をくくり出して、

99c + c + 11d - d + e
11(9c + d) + (c - d + e)
なので、この３桁の整数に関しては、c-d+eが11の倍数なら、11で割り切れるとか。


> 各桁の数字がすべて異なる5桁の整数のうち、22で割り切れる最大の整数を求めよ。

同様に、a, b, c, d, eを足すのか引くのかした結果が22の倍数とかって条件になるでしょうから、
abcdeの順、足し算してる順に、計算結果が22になるよう、9から大きい数を当てはめてみてとか。

この回答へのお礼

ありがとうございました！分かりやすかったです！

お礼日時：2019/04/12 06:51

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/08 14:54

N = a・10^4 + b・10^3 + c・10^2 + d・10 + e ですね。

10^4, 10^3, 10^2 を 11 で割ってみると
10^4 = 11・909 + 1,
10^3 = 11・90 + 10,
10^2 = 11・9 + 1　なので、

N = a(11・909+1) + b(11・91-1) + c(11・9+1) + d(11-1) + e
= 11(909a+91b+9c+d) + (a-b+c-d+e)　と書けます。

この式を見れば、
N が 11 の倍数であることと a-b+c-d+e が 11 の倍数であることが
同値だと判りますね。

22 の倍数は、11 の倍数かつ 2 の倍数です。
前の N で、 a-b+c-d+e が 11 の倍数かつ e が偶数であればよい。
その中で最大のものを見つけるには、
なるべく左の桁の数字が大きくなるようにして
右のほうの桁で倍数を合わせます。

a = 9. b = 8, c = 7 とすると、 a-b+c-d+e = 8-d+e.
これを 11 の倍数にするには、
d = 6 だと e = 9 となって e が奇数だったり 9 がダブったりいろいろまずい。
d = 5 だと e = 8 となって e は偶数だが 8 がダブってしまう。
d = 4 だと e = 7 でまた e が奇数だし 7 がダブる。
d = 3 なら e = 6 で、a-b+c-d+e = 11 だし e は偶数で ok です。

よって答えは 98736.

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました！

お礼日時：2019/04/12 06:52

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/04/08 14:52

検索するとすぐに出てくる

http://manabi.matiralab.com/times11/

この方式で考えると
x 98769
x 98758
x 98747
〇98736
あたりになるのかな。