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No.1
- 回答日時:
行列Aは2次正方行列であるから、図1のように、2×2個の行材列要素をa、b、c、dと仮定する。
行列Bは行列要素をx、u、y、vと仮定する。Aが正則であるとは、Aの逆行列が存在することである。そのとき、Aの逆行列を
Bとすると、図2のようにABは単位行列になる。行列の積を計算すると、
ax+by=1__①
cx+dy=0__②
au+bv=0__③
cu+dv=1__④
の4式が成立することになる。
①と②の連立方程式を解くために①×d-②×bを計算すると
(ad-bc)x=d__⑤
①と②の連立方程式を解くために①×c-②×aを計算すると
(ad-bc)y=-c__⑥
③と④の連立方程式を解くために③×d-④×bを計算すると
(ad-bc)u=-b__⑦
③と④の連立方程式を解くために③×c-④×aを計算すると
(ad-bc)v=a__⑧
(1)⑤⑥⑦⑧でad-bc=0ならば、a、b、c、dはすべて0となり
AB=OB=0は単位行列にならないから、Aが正則の仮定に反する。
ゆえにad-bc≠0
(2)逆にad-bc≠0なら、⑤⑥⑦⑧でx、y、u、vの解が存在するので
逆行列Bが存在し、Aは正則である。
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