6t^2+3t+aがなんで実数解を持つということをいうのですか？(x-t)^2(x^2＋〜＋a）の式

6t^2+3t+aがなんで実数解を持つということをいうのですか？(x-t)^2(x^2＋〜＋a）の式の(x^2+〜+a)から解にtを持つので組み立て除法をしたところまではわかります。組み立て除法して出た1 3t+1 6t^2+3t＋aの部分がなに言ってるのかわからないです。教えてください

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/06/01 07:47

ｆ（ｘ）と直線ｌが接線（ｘ＝ｔ）と交点１（ｘ＝ｓ）つづつもつということは

ｆ（ｘ）－ｌ＝（ｘ－ｔ）²（ｘ²＋ｂｘ＋ｃ）となります。（ｘ²＋ｂｘ＋ｃ）もｓ²＋ｂｓ＋ｃ＝０の実数解があります。
Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｌを（ｘ－ｔ）²で割り
Ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｔ）²ｇ（ｘ）＋Ｒの形になって余りＲ＝6t^2+3t＋aとなったと思います。
ｆ（ｘ）－ｌ＝（ｘ－ｔ）²（ｘ²＋ｂｘ＋ｃ）に余りはないので。
Ｒ＝6t^2+3t＋a＝０です。ｔは実数なので、判別式Ｄ＝９－２４a≧０からa≦３/8
と求めたと思います。

No.2 回答者： aki12_56 回答日時： 2019/06/02 00:32

別解として、

4次関数のグラフを考えると、条件に合うためには「変曲点を持つ」必要があります。（本当は言い方が違うようですが。）
つまり、f’’(x)が解を持つ必要があります。

f(x)=x^4+x^3+ax^2
f’(x)=4x^3+3x^2+2ax
f’’(x)=12x^2+6x +2a 　　⇒　2で割った　６x^2+３x +a　の判別式を考える。　　　⇒　　同じ答え。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/02 02:31

たぶん写真の計算なる前に、考え方の説明があったはずですが...

ポイントは、(x - t)^2 で割るのではなく、(x - t)^3 で割ることです。

4次関数のグラフと直線の交点(の x座標)を求める式は、4次方程式になります。
実係数４次方程式の解は、重解を複数に数えると、
実数解４個か、実数解２個と虚数解２個か、虚数解４個かのどれかです。
その中で、問題が指定しているように
重解をひとつと数えると重解１組と重解でない解１個になるのは、
実数解４個で三重解１組と重解でない解1個である場合だけです。
逆に、4次方程式が実三重解を持てば、残るひとつの解も実数解になり、
第４の解は重解ではありません。
こうして、題意は
4次関数のグラフと直線の交点が三重解を持つ条件を求める問題
に翻訳されました。
大切な話はここまで。後は計算です。

y = f(x) の x = t における接線の式は y = f’(t)(x - t) + f(t) なので、
y = f(x) と接線の交点を求める方程式は f(x) = f’(t)(x - t) + f(t) です。
f(x) = x^4 + x^3 + ax^2 であれば、この式は
x^4 + x^3 + ax^2 - (4t^3 + 3t^2 + 2at)x + ( tf’(t) - f(t) ) = 0 となります。
x = t がこの式の三重解であるためには、
左辺 g(x) = x^4 + x^3 + ax^2 - (4t^3 + 3t^2 + 2at)x + ( tf’(t) - f(t) ) を
(x - t)^3 で割った余りが(x についての定数式) 0 であればよい。

x = t がこの方程式の重解であることは t の定義から自明なので、
左辺を (x - t)^3 で割るときに、(x - t)^2 で割った余りは
どうせ 0 になるから計算を省略してしまいましょう。
そうやって筆算をサクサク進めて、g(x) を (x - t)^2 で割った商が P(x)、
P(x) を更に (x - t) で割った商が Q(x)、余りが R になったとすると、
g(x) = (x - t)^2 P(x) = (x - t)^3 Q(x) + (x - t)^2 R です。
板書の計算によると Q(x) = x + (3t+1), R = 6t^2+3t+a だというわけです。

(x - t)^2 R が(x についての)定数多項式 0 であれば、
x = t が g(x) = 0 の三重解になります。
R = 0 であればいいですね。そうなるような t が存在する条件が
R = 6t^2+3t+a = 0 の(t についての)判別式なのです。

No.4 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/06/02 15:05

（ｘ-ｔ)²（ｘ²+～+a）＝０・・・Ⓐ

条件：f(x)と直線ｌの共有点は2個で、ｌはそのうちの一方のみでf(ｘ)に接している。

共有点は2個なので、ｘ²+～+a＝０がどのような解をもつかが問題になります。
①ｘ²+～+a＝０が実数解をもたないならば、Ⓐの解の個数は1個で共有点が1個となり条件にあいません。
②ｘ²+～+a＝０が重解をもつならば、Ⓐの解の個数は2個で共有点の個数が2個となりますが、2個とも重解ということは、両方とも接点と
　なり条件にあいません。
③ｘ²+～+a＝０が異なる２つの実数解α、β（ただし、α≠ｔ、β≠ｔ）をもつとすると、Ⓐの解の個数は3個となり共有点の個数が3個で
　条件にあいません。
④以上のことから、α、βのうちのどちらかがｔに等しければ、Ⓐの解の個数は2個となり共有点の個数は2個（接点と交点）で条件にあいます。
⑤ただし、α、βともにｔに等しいとなると、Ⓐの解の個数は1個となり共有点の個数が1個で条件に合いません。

①～⑤によりⒶの式は
(x-t)²(x-t)(x-α)=0　　（ただし、α≠ｔ）
(x-t)³(ｘ-α)=0・・・Ⓑ
となります。

ここで、組み立て除法を利用して、ｘ-ｔで3回割ります。
組み立て除法の一番下の行の
１、３ｔ+1、６ｔ²+３ｔ+a　はｘ-ｔで3回割った後の
商が　1・ｘ+（３ｔ+1）　余りが　６ｔ²+３ｔ+a　であることを表しています。

Ⓑのようになるということは、余りが０ということになるので
６ｔ²+３ｔ+a＝０を満たす実数解が必要となります。
ここからは、判別式を考えて　a≦3/8 となります。

この回答へのお礼

あまりがゼロというのがわかりません。それ以外わかりました！数学苦手なのであまりゼロというの教えてください

お礼日時：2019/06/02 17:07

No.5 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/06/05 18:26

※この回答は、“締め切られた質問への回答追加”として、2019/06/05 08:24に回答者の方よりご依頼をいただき、教えて!gooによって代理投稿されたものです。

---
f(ｘ)と直線lの共有点を求めるには次の連立方程式を解きます。
　ｙ＝ｘ⁴+ｘ³+aｘ²
　ｙ＝（４ｔ³+３ｔ²+2aｔ）ｘ-3ｔ⁴-2ｔ³-aｔ²

ｙを消去して整理すると
　ｘ⁴+ｘ³+aｘ²-（４ｔ³+3ｔ²+２aｔ）ｘ+3ｔ⁴+２ｔ³+aｔ²＝０・・・☆

この方程式が解として　ｘ＝ｔ　を3個持つということは、☆の左辺が　ｘ－ｔ　を因数として3個持つということで、
　（ｘ-ｔ）³（ｘ-α）＝０　　　　（ただし、α≠ｔ）
となるということです。
つまり、☆の左辺は　ｘ－ｔ　で3回割り切れるということです。

ところで、
割り算では一般的に余りが出ます。（割り切れない）
例えば、①　１８を４で割ると　商４　余り２
　　　　②　ｘ²+2　を　ｘ-1　で割ると　商　ｘ+1　余り３
余りが出ないということは、余りが０ということです。（割り切れる）
例えば、③　２０を５で割ると　商４　余り０
　　　　④　ｘ²-1　を　ｘ+1　で割ると　商　ｘ-1　余り０

以上のことから、組み立て除法により、
６ｔ²+３ｔ+a　が余りとして出てきていますが、割り切れるということより、余りは０なので
　６ｔ²+３ｔ+a＝０
となります。