高次方程式の問題です P(x)=x^3+px^2+qx-(p+q+1)がある P(x)をx-2で割る

高次方程式の問題です
P(x)=x^3+px^2+qx-(p+q+1)がある
P(x)をx-2で割ると余りp+5となる
(1)qをpで表す
(2)p(x)=0が虚数解を持つときpの範囲を求めよ
(3) (2)のときP(x)=0が異なる虚数解α,β実数解r(ガンマ)がある。 (8/αβr)+2(α+β+r)の最小値とその時のpの値を求めよ

質問者からの補足コメント

• 早急にお願いします！

    補足日時：2017/10/27 22:11

No.1 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/10/28 09:53

(1)　剰余の定理を使う

P(x) を x-2 で割ると　余りが p+5 だから
P(2)=p+5

これから
q=-2p-2


(2)　因数定理から因数分解して（実際に割り算をするか組み立て除法を使うか）2次式において判別式 D<0 を使う

q=-2p-2 より　P(x) は
P(x)=x^3+px^2-(2p+2)x+p+1

P(1)=1+p-2p-2+p+1=0　より、P(x) は x-1 を因数にもつから

P(x)=(x-1){x^2+(p+1)x-(p+1)}

P(x)=0 とおくと
(x-1){x^2+(p+1)x-(p+1)}=0
P(x)=0 が虚数解をもととき
x^2+(p+1)x-(p+1)=0
が虚数解をもつことになるから
判別式を Ｄ とすると
Ｄ<0
D=(p+1)^2-4･1･{-(p+1)}<0

これから
-5<p<-1


(3)　解と係数の関係から p の式をつくり、相加平均・相乗平均の関係を使って最小値を求める（分数関数の微分を学習していれば、グラフをかいて最小値を求めてもよい）

解と係数の関係より
α＋β+γ=-p, αβγ=-(p+1)
だから
(8/αβr)+2(α+β+r)={8/-(p+1)}-2p
={8/-(p+1)}+2{-(p+1)}+2　　･････　①

ここで
-5<p<-1 より
-4<p+1<0
0<-(p+1)<4
だから、相加平均・相乗平均の関係より
{8/-(p+1)}+2{-(p+1)}≧2√[{8/-(p+1)}･2{-(p+1)}]=8　･････　②

①より
(8/αβr)+2(α+β+r)={8/-(p+1)}+2{-(p+1)}+2≧8+2=10

等号成立は、②より
8/-(p+1)＝2{-(p+1)}
つまり
p=-3 のとき


解と係数の関係が出てこなければ
P(x)=(x-α)(x-β)(x-r) を展開して
P(x)=x^3+px^2-(2p+2)x+p+1
と係数を比較すればよい