同時分布関数

f(x,y)=c exp[-(2x+y)] (0<x<2y<∞)
0 (otherwise)

の時，定数cの値を求めたいのですが，積分区間が分かりません．
一般的にはx,yをそれぞれ-∞～∞で積分し，=1とすればよいのはわかるのですが，この場合どうすればよいのでしょう．
できるだけ詳しく解説して頂けたら助かります．
よろしくお願い致します．

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2019/06/22 19:16

f(x,y)の全平面での二重積分の値が1ということであれば

今の場合は
直線x＝2yの第一象限の部分とｙ軸の正の部分に囲まれた領域における
f(x,y)の二重積分が＝1という条件になるが...？

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/06/22 19:43

2x+y=t とおくと

y=t-2x
dy=dt
(※ x は t に対して独立なので定数とみなせる)
0<x<2y=2t-4x
5x/2<t
∫[x=0→∞]∫[t=5x/2→∞]f(x, t-2x)dtdx
=∫[x=0→∞]∫[t=5x/2→∞]c exp(-t)dtdx
=∫[x=0→∞]c[-exp(-t)][t=5x/2→∞]dx
=∫[x=0→∞]c exp(-5x/2)dx
=c[-2/5 exp(-5x/2)][x=0→∞]
=2c/5 (=1)
c=5/2

ってことかな?

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/22 20:57

積分領域を分割すればいいです。

∫[(x,y)∈(-∞,∞)] f(x,y) (dxdy)
= ∫[-∞,∞]∫[-∞,∞] f(x,y) dxdy
= ∫[-∞,∞]∫[-∞,0] f(x,y) dxdy + ∫[-∞,∞]∫[0,2y] f(x,y) dxdy + ∫[-∞,∞]∫[2y,∞] f(x,y) dxdy
= ∫[-∞,∞]∫[-∞,0] 0 dxdy + ∫[-∞,∞]∫[0,2y] f(x,y) dxdy + ∫[-∞,∞]∫[2y,∞] 0 dxdy
= 0 + ∫[-∞,∞]∫[0,2y] f(x,y) dxdy + 0
= ∫[-∞,0]∫[0,2y] f(x,y) dxdy + ∫[0,∞]∫[0,2y] f(x,y) dxdy
= ∫[-∞,0]∫[0,2y] 0 dxdy + ∫[0,∞]∫[0,2y] f(x,y) dxdy
= 0 + ∫[0,∞]∫[0,2y] f(x,y) dxdy
= ∫[0,∞]∫[0,2y] c exp(-2x) exp(-y) dxdy

= c ∫[0,∞] exp(-y) ∫[0,2y] exp(-2x) dx dy
= c ∫[0,∞] exp(-y){ (-1/2)exp(-2・2y) - (-1/2)exp(-2・0) }dy
= (c/2) ∫[0,∞]{ -exp(-5y) + exp(-y) }dy
= (c/2)[ { (1/5)exp(-5・∞) - exp(-∞) } - { (1/5)exp(-5・0) - exp(-0) } }
= (c/2)[ 4/5 ]
= (2/5)c = 1.

よって、c = 5/2.