微分積分について教えて下さい

不定積分の∫ xlogx dxを部分積分法を使って出す問題がいまいちわかりません。答えしか書いておらず、よろしければ解き方を教えて下さい

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/07/23 04:50

部分積分法は積の微分の逆を使う方法です。

∫ xlogx dx＿①の積分記号のあとの関数x log xは、xと log xの積です。その片方だけを積分するので、部分積分という名前がついています。どの部分を積分するとよいかは、工夫します。
ここではxだけを積分して
(x^2)/２・logx＿②という式を書いて下さい。
次に(1)積の微分の公式を使って、微分し、(2)また積分します。
(1)　式②を積の微分の公式を使って微分すると
{(x^2)/２・logx}'＝x・logx+(x^2)/２・1/x＝xlogx+x/２
これを書き直して③とする。
{(x^2)/２・logx}'＝xlogx+x/2＿③
(2)　式③を積分すると、各項ごとに∫とdxをつける。
∫{(x^2)/２・logx}'dx＝∫x logx dx+∫(x/2)dx＿④
左辺は微分して積分するからもとにもどる。
(x^2)/２・logx＝∫x logx dx+∫(x/2)dx
右辺第１項について解くと
∫x logx dx＝(x^2)/２・logx－∫(x/2)dx＿⑤
ここでは式①から⑤を出す手順を段階的に書いたが
普通は、式①から、一挙に式⑤が書けるように練習して、式⑤を得る。
⑤の最後の項の積分計算をすると
∫x logx dx＝(x^2)/２・logx－x^2/4＿⑥
不定積分の計算では、最後に積分定数Cをつけて
∫x logx dx＝(x^2)/2・logx－x^2/4+C＿⑦
⑦が答えとなる。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/17 16:33

∫ xlogx dx=∫ {(1/2)x²}'logx dx

=(1/2)x²logx-∫ {(1/2)x²}(logx)' dx
=(1/2)x²logx-∫ {(1/2)x²}(1/x) dx
＝(1/2)x²logx-∫ (1/2)x dx
=(1/2)x²logx-x²/4+C