座標平面における直線ｙ＝mxのベクトル方程式↑p＝t↑eとする。このとき、↑eを、そのx成分が正で、

座標平面における直線ｙ＝mxのベクトル方程式↑p＝t↑eとする。このとき、↑eを、そのx成分が正で、かつ|↑e|＝1となるようにとれば、↑e＝◽︎である。
また、平面上の点U(u、v)からこの直線に下ろした垂線の足をHとし、座標平面上の原点をOとすると、u、v、mを用いて↑OH＝◽︎↑eと表される。
これの◽︎を答える問題なのですが、全然分からなかったので、教えていただきたいです。
特に、下の◽︎(OH＝のやつ)について詳しく教えてほしいです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/24 11:51

直線ｙ＝mx　上の点は、任意の実数 k に対して (k, mk) ですよね。

つまり、単位ベクトルを →e = (k, mk) とすれば、
　|→e| = √[k^2 + (mk)^2] = k * √(1 + m^2) = 1
より
　k = 1/√(1 + m^2)
つまり
　→e = (1/√(1 + m^2), m/√(1 + m^2))

→UH と →OH は直交するので、その内積は 0 になります。

H の座標を (h, mh) とすれば
　→UH = (u - h, v - mh)
　→OH = (h, mh)
ですから
　→UH･→OH = (u - h)h + (v - mh)mh = 0
これを整理して h= を求めればよいので
　(m^2 + 1)h^2 - (u + mv)h = 0
→　h[(m^2 + 1)h - (u + mv)] = 0
従って
　h=0 または h=(u + mv)/(m^2 + 1)

h=0 の場合には、u≠0, v≠0 なので、m≠0 のとき
　v/u = -1/m
→　u = -mv
m=0 のとき
　u = 0
なので、
　h=(u + mv)/(m^2 + 1)
がすべての条件を表わしている。
従って
　→OH = ((u + mv)/(m^2 + 1), m(u + mv)/(m^2 + 1))