教えてください！！

教えてください！！

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/05 14:55

区間上で定義された二次関数の最大最小を考えるときは、

区間の両端と中央の計３点と二次関数の軸の大小関係で場合分けする。
なぜそうするとよいかは、場合分けした各場合のグラフを書いてみれば解る。
未知の定数が区間の端にある場合も、二次関数の係数にある場合も、
考え方に違いはない。

この問題については、区間の両端と中央が a, a+1, a+2、
二次関数の軸が 4 になっている。
[1]　4 ≦ a < a+1 < a+2 すなわち a ≧ 4 の場合
グラフから明らかなように、f(x) の最大値は f(a+2)、最小値は f(a) である。
[2]　a < 4 ≦ a+1 < a+2 すなわち 3 ≦ a < 4 の場合
グラフから明らかなように、f(x) の最大値は f(a+2)、最小値は f(4) である。
[3]　a < a+1 < 4 ≦ a+2 すなわち 2 ≦ a < 3 の場合
グラフから明らかなように、f(x) の最大値は f(a)、最小値は f(4) である。
[4]　a < a+1 < a+2 < 4 すなわち a < 2 の場合
グラフから明らかなように、f(x) の最大値は f(a)、最小値は f(a+2) である。

[1][2][3][4]各場合の二次関数のグラフは、必ず自分で書いてみること。
そうでないと、この場合分けは解るようにならない。

上記の結論を、解答欄に合わせて並べなおすと、
a < 2 のとき 最小値 f(a+2) = 2(a+2)^2 - 8(a+2) + 7 = 2a^2 - 1、
2 ≦ a ≦ 4 のとき 最小値 f(4) = 2(4)^2 - 8(4) + 7 = 7、
a > 4 のとき 最小値 f(a) = 2a^2 - 8a + 7 をとるので、
答えは [1] 2　[2] 3　[3] 2　[4] 1　[5] 7　[6] 2　[7] 8　[8] 7。

←No.1
「有効区間」はいただけない。別の意味を持った言葉を流用するのは良くないし、
「定義域」という言葉を避ける理由もみあたらない。用語は、ちゃんとしよう。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/10/05 13:38

以前の問題は頂点が定数aで表わされ、有効区間がはっきりした数字と言うものでしたね。

この問題はそれとは逆で、頂点がはっきりした数字で表わされ、有効区間が文字aの式で表わされています
とはいえ、考え方は前回とほぼ同じ、
グラフを書いて、有効区間内での最小値を判断すれば良いのです
ということで、先ずはf(x)=2x²-8x+7を頂点が分かる形に式変形して（平方完成して）グラフを書いてみてください
次に、有効区間の左端である縦ラインを書きこんでみてください（この縦ラインの位置がx=aという事になります）
次にa≦x≦a+2だから有効区間の右端は左端より＋２だけ右にずれた位置に書きます
（この縦ラインの位置はx=a+2という事になります）
あとは、数字扱いのaが色々な数字に確定した場合を想定して、共通点を見出し場合分けです
共通点を見出すためにはx=aの縦ラインを左右にスライドすることをイメージして見れば良いです
x=aをスライドすれば（aの値を変えれば）、それより＋２だけ右側の位置にあるx=a+2も一緒にスライドすることになるので有効範囲が左右にスライドすることになります（ただし有効範囲の横幅は変りません）
すると
①有効範囲左端より頂点が左にある場合
②有効範囲内に頂点がある場合
③有効範囲右端より右側に頂点がある場合
という３タイプに分かれることが分かるはずです
グラフから分かる通り
①では有効範囲の左端で最小値を取るので、x=aで最小です
②では頂点で最小なので、頂点のy座標が最小値となります
③では有効範囲右端で最小値を取るので、x=a+2で最小です
これらの事を踏まえ問題を考えてみてください