1番と5番がわかりません。教えてください。

1番と5番がわかりません。教えてください。

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2019/10/07 17:06

f(x)=2*x*x-8x+7=2(xx-4x+4)-1=2(x-2)^2-1

軸位置　x=2

a < a+2 < 2 のとき　f(a+2) で最小
a ≦ 2 ≦ a+2 のとき　f(2) で最小
2 < a < a+2 のとき　f(a) で最小

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/10/07 17:28

大学生ですか？　でも、なんか変な問題。

「最小値」だけを求めればよいみたいだけど。

まず、y=f(x) のグラフを書いてください。書けますか？
そこの「a ≦ x ≦ a + 2」という「幅が『2』の x の範囲」を書いて、どこが最大、最小になるのかを見てください。a の値をいくつにするかによって、最大・最小が変わりますね？
a をいくつにすると、どこが最大でいくつになるか、どこが最小でいくつになるかを、a の範囲ごとに場合分けして整理してください。
それが答になります。

以下、参考まで。
　y = f(x) = 2x^2 - 8x + 7 = 2(x - 2)^2 - 1
なので、このグラフは
・下の凸の放物線
・頂点は (2, -1)
・軸は x=2
ということがわかります。

ということで、

(a) 「a ≦ x ≦ a + 2」が放物線の頂点よりも左側にあれば、その区間ではグラフは「単調減少」なので
　x=a で最大、x=a + 2 で最小になる。

(b) 「a ≦ x ≦ a + 2」の中に放物線の頂点があれば、グラフは「頂点」で最小になる。
そのとき
(b-1) 放物線の頂点が「a ≦ x ≦ a + 2」の真ん中、つまり x=a + 1 よりも左にあれば、最大になるのは x=a+2 のとき
(b-2) 放物線の頂点が「a ≦ x ≦ a + 2」の真ん中、つまり x=a + 1 よりも右にあれば、最大になるのは x=a のとき
(b-3) 放物線の頂点がちょうど「a ≦ x ≦ a + 2」の真ん中、つまり x=a + 1 のとき、x=a, x=a+2 で同じ値になりそれが最大

(c) 「a ≦ x ≦ a + 2」が放物線の頂点よりも右側にあれば、その区間ではグラフは「単調増加」なので
　x=a で最小、x=a + 2 で最大になる。

となることが分かりますね？

あとは、それぞれに「数値」を当てはめていけばよい。

(a) 「a ≦ x ≦ a + 2」が放物線の頂点よりも左側にあるということは、
　a + 2 < 2
つまり
　a < 0　　　　　　　　　　　　←これが【１】
ということ。
このとき
　x=a で最大、最大値は f(a) = 2a^2 - 8a + 7
　x=a + 2 で最小、最小値は f(a+2) = 2(a + 2)^2 - 8(a + 2) + 7 = 2a^2 - 1　　　　　　　　　←これが【３】【４】

(b) 「a ≦ x ≦ a + 2」の中に放物線の頂点があるということは
　a ≦ 2 ≦ a + 2
つまり
　0 ≦ a ≦ 2　　　　　　　　　　　　←これが【１】【２】
ということ。
このとき、最小値は「グラフの頂点」である
　f(2) = -1　　　　　　　　　　　　←これが【５】

問題では、このときの最大値は求めていませんが
(b-1) 2 < a + 1 つまり 1 < a ≦ 2 のとき、最大値は f(a+2) = 2a^2 - 1
(b-2) a + 1 < 2 つまり 0 ≦ a < 1 のとき、最大値は f(a) = 2a^2 - 8a + 7
(b-3) a + 1 = 2 つまり a = 1 のとき、最大値は f(1) = f(3) = 1

(c) 「a ≦ x ≦ a + 2」が放物線の頂点よりも右側にあるということは、
　2 < a　　　　　　　　　　　　←これが【２】
ということ。
このとき
　x=a で最小、最小値は f(a) = 2a^2 - 8a + 7　　　　　　　　　　　　　　　←これが【６】【７】【８】
　x=a + 2 で最大、最大値は f(a+2) = 2(a + 2)^2 - 8(a + 2) + 7 = 2a^2 - 1