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なぜ、aの範囲をこのように考えてるのかが分かりません。教えてください。

「なぜ、aの範囲をこのように考えてるのかが」の質問画像

A 回答 (4件)

積分する関数を、y=x|x-a| とおいてグラフを考えます。


絶対値をはずします。
① x-a≧0 、つまり、x≧a のとき、y=x(x-a)
② x-a<0、つまり、x<a のとき、y=-x(x-a)

どちらも、x=0、a で x軸と交わる放物線です。
x=a より右側で①のグラフになり、x=a より左側で②のグラフになる、x=a で①と②のグラフをつないだものになります。
そこで、0とa の大小関係、a<0 か、0<a かでグラフは大きく変わります。
よって、まずは次のような場合分けをします。(グラフをかいてみて下さい)

[1] a<0 のとき
x=a が原点より左側にきます。積分区間は0から2なので、a より右側なので、積分する関数は①です。
I(a)=2a+3∫(x:0→2) x(x-a) dx
=2a+3∫(x:0→2) (x²-ax) dx
=2a+3[x³/3-ax²/2] (x:0→2]
=2a+3(8/3-2a)
=-4a+8

[2] a>0 のとき
x=a が原点より右側にきます。
積分区間は0から2ですが、ここで、また、場合分けが必要になります。
つまり、a と2の大小関係、a<2 か、2<a かで積分する関数が変わります。
(ⅰ) a>2 のときは、積分する関数は②です。
I(a)=2a+3∫(x:0→2) -x(x-a) dx
=2a-3∫(x:0→2) (x²-ax) dx
=2a-3[x³/3-ax²/2] (x:0→2]
=2a-3(8/3-2a)
=8a-8

(ⅱ) a<2 のときは、積分区間0から2の間でグラフが切り替わります。
0≦x≦a のときは、積分する関数は②で
a<x≦2 のときは、積分する関数は①になります。
I(a)=2a+3{∫(x:0→a) -x(x-a) dx+∫(x:a→2) x(x-a) dx}
=2a-3∫(x:0→a) (x²-ax) dx+3∫(x:a→2) (x²-ax) dx
=2a-3[x³/3-ax²/2] (x:0→a)+3[x³/3-ax²/2] (x:a→2)
=2a-3(a³/3-a³/2)+3{(8/3-2a)-(a³/3-a³/2)}
=2a+a³/2+8-6a+a³/2
=a³-4a+8

したがって、a の範囲の場合分けは次の3通りになります。(普通、等号は場合分けした片方に入れま
すが、この問題では両方に入れています)
[1] a≦0
[2] 0≦a≦2
[3] 2≦a
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答えがそうだからとしか言いようがありません。


アイウエオカキとクケを合わせて1つの答えです。
答えが分かる前にクケの値を考えることはできません。
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ここに文字画像をアップするときは、極力不要な部分を切り落とす必要があります。


大凡読めますが、残念ながら積分区間が読めません。
以下、積分区間は0~2だと仮定します。

さて、y=x(x-a)というグラフが、この式のまま、どれだけ書けますか?
平方完成をせずに平方完成した結果を適当に想像すると、y=(x-t)²+sという形になり、グラフの形状を想像する上で何が大事かというと、y=u(x-t)²+sという一般的な式に対して、u=1が見えている、ということです。
次に、y=x(x-a)から、x=0,aでx軸と交わっている、ということにもなります。
で、y=x²を平行移動して、x=0,aでx軸と交わるグラフを想像すれば良い、ということになります。

次に、絶対値を外すということ。
|x-a|は、x-a≧0なら|x-a|=(x-a)、x-a<0なら|x-a|=-(x-a)、で、|x-a|は(x-a)か-(x-a)のどちらかである、ということ。
上記のグラフで、例えばa=2やa=3の場合を想定すると、xが0~2の間ではx(x-a)はずっと負のままでしょう。
勿論、(x-a)も、xが0~2の間ではずっと負になっている。
従って、|x-a|=-(x-a)となり、当然、x|x-a|=-x(x-a)になる。
上記のグラフをひっくり返した物になる、ということです。

a=-1のような場合だと、上記のグラフは、xが0~2の間では正のまま。
(x-a)も、xが0~2の間ではずっと正のまま。
|x-a|=(x-a)で、x|x-a|=x(x-a)となる。

面倒なのは、0<a<2の場合。
上記のグラフは、xが0~aのときyが負になり、xがa~2のときはyが正になる。
勿論それは、(x-a)が、xが0~aのとき負で、xがa~2のとき正になるから。
これも勿論、x|x-a|は、xが0~aのときx|x-a|=-x(x-a)で、xがa~2のときx|x-a|=x(x-a)となる。

ついでに、そもそも積分ってのは、細長い短冊の面積を足していった物、でしたよね。
だから、こういう場合、思い切って分割しちゃっても全然構わない。
∫[0~2]x|x-a|dx=∫[0~a]{-x(x-a)}dx+∫[a~2]x(x-a)dx
としちゃって全然構わない。

そんなこんなで、グラフ見ながら絶対値の中身の正負を見ながら、絶対値を外せば良いのです。
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|x-a| は xとaの大小によって


a≦x ならば |x-a| = x-a
x≦a ならば |x-a| = a-x

考えている積分の範囲は 0≦x≦2

したがって
a≦0≦x≦2では x(x-a) を 0から2まで積分

0≦a≦2では 次の和
 0≦x≦a≦2 x(a-x) を0からaまで積分
 0≦a≦x≦2 x(x-a) をaから2まで積分

0≦x≦2≦aでは x(a-x) を0から2まで積分
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