なぜ、aの範囲をこのように考えてるのかが分かりません。教えてください。

なぜ、aの範囲をこのように考えてるのかが分かりません。教えてください。

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2019/12/10 11:37

|x-a| は xとaの大小によって

a≦x ならば　|x-a| = x-a
x≦a ならば　|x-a| = a-x

考えている積分の範囲は　0≦x≦2

したがって
a≦0≦x≦2では　x(x-a) を 0から2まで積分

0≦a≦2では　次の和
　0≦x≦a≦2　x(a-x) を0からaまで積分
　0≦a≦x≦2　x(x-a) をaから2まで積分

0≦x≦2≦aでは　x(a-x) を0から2まで積分

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/10 13:02

積分する関数を、y=x|x-a| とおいてグラフを考えます。

絶対値をはずします。
① x-a≧0 、つまり、x≧a のとき、y=x(x-a)
② x-a<0、つまり、x<a のとき、y=-x(x-a)

どちらも、ｘ＝０、a　で x軸と交わる放物線です。
x=a より右側で①のグラフになり、x=a より左側で②のグラフになる、x=a で①と②のグラフをつないだものになります。
そこで、０とa の大小関係、a<0 か、0<a かでグラフは大きく変わります。
よって、まずは次のような場合分けをします。(グラフをかいてみて下さい)

[1] a<0 のとき
x=a が原点より左側にきます。積分区間は０から２なので、a より右側なので、積分する関数は①です。
I(a)=2a+3∫(x:0→2) x(x-a) dx
=2a+3∫(x:0→2) (x²-ax) dx
=2a+3[x³/3-ax²/2] (x:0→2]
=2a+3(8/3-2a)
=-4a+8

[2] a>0 のとき
x=a が原点より右側にきます。
積分区間は０から２ですが、ここで、また、場合分けが必要になります。
つまり、a と２の大小関係、a<2 か、2<a かで積分する関数が変わります。
(ⅰ) a>2 のときは、積分する関数は②です。
I(a)=2a+3∫(x:0→2) -x(x-a) dx
=2a-3∫(x:0→2) (x²-ax) dx
=2a-3[x³/3-ax²/2] (x:0→2]
=2a-3(8/3-2a)
=8a-8

(ⅱ) a<2 のときは、積分区間０から２の間でグラフが切り替わります。
０≦ｘ≦a のときは、積分する関数は②で
a<x≦2 のときは、積分する関数は①になります。
I(a)=2a+3{∫(x:0→a) -x(x-a) dx+∫(x:a→2) x(x-a) dx}
=2a-3∫(x:0→a) (x²-ax) dx+3∫(x:a→2) (x²-ax) dx
=2a-3[x³/3-ax²/2] (x:0→a)+3[x³/3-ax²/2] (x:a→2)
=2a-3(a³/3-a³/2)+3{(8/3-2a)-(a³/3-a³/2)}
=2a+a³/2+8-6a+a³/2
=a³-4a+8

したがって、a の範囲の場合分けは次の３通りになります。(普通、等号は場合分けした片方に入れま
すが、この問題では両方に入れています)
[1] a≦0
[2] 0≦a≦２
[3] 2≦a

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2019/12/10 14:55

ここに文字画像をアップするときは、極力不要な部分を切り落とす必要があります。

大凡読めますが、残念ながら積分区間が読めません。
以下、積分区間は0～2だと仮定します。

さて、ｙ＝ｘ(ｘ－ａ)というグラフが、この式のまま、どれだけ書けますか？
平方完成をせずに平方完成した結果を適当に想像すると、ｙ＝(ｘ－ｔ)²＋ｓという形になり、グラフの形状を想像する上で何が大事かというと、ｙ＝ｕ(ｘ－ｔ)²＋ｓという一般的な式に対して、ｕ＝1が見えている、ということです。
次に、ｙ＝ｘ(ｘ－ａ)から、ｘ＝0,ａでｘ軸と交わっている、ということにもなります。
で、ｙ＝ｘ²を平行移動して、ｘ＝0,ａでｘ軸と交わるグラフを想像すれば良い、ということになります。

次に、絶対値を外すということ。
|ｘ－ａ|は、ｘ－ａ≧0なら|ｘ－ａ|＝(ｘ－ａ)、ｘ－ａ＜0なら|ｘ－ａ|＝－(ｘ－ａ)、で、|ｘ－ａ|は(ｘ－ａ)か－(ｘ－ａ)のどちらかである、ということ。
上記のグラフで、例えばａ＝2やａ＝3の場合を想定すると、ｘが0～2の間ではｘ(ｘ－ａ)はずっと負のままでしょう。
勿論、(ｘ－ａ)も、ｘが0～2の間ではずっと負になっている。
従って、|ｘ－ａ|＝－(ｘ－ａ)となり、当然、ｘ|ｘ－ａ|＝－ｘ(ｘ－ａ)になる。
上記のグラフをひっくり返した物になる、ということです。

ａ＝－1のような場合だと、上記のグラフは、ｘが0～2の間では正のまま。
(ｘ－ａ)も、ｘが0～2の間ではずっと正のまま。
|ｘ－ａ|＝(ｘ－ａ)で、ｘ|ｘ－ａ|＝ｘ(ｘ－ａ)となる。

面倒なのは、0＜ａ＜2の場合。
上記のグラフは、ｘが0～ａのときｙが負になり、ｘがａ～2のときはｙが正になる。
勿論それは、(ｘ－ａ)が、ｘが0～ａのとき負で、ｘがａ～2のとき正になるから。
これも勿論、ｘ|ｘ－ａ|は、ｘが0～ａのときｘ|ｘ－ａ|＝－ｘ(ｘ－ａ)で、ｘがａ～2のときｘ|ｘ－ａ|＝ｘ(ｘ－ａ)となる。

ついでに、そもそも積分ってのは、細長い短冊の面積を足していった物、でしたよね。
だから、こういう場合、思い切って分割しちゃっても全然構わない。
∫[0～2]ｘ|ｘ－ａ|ｄｘ＝∫[0～ａ]{－ｘ(ｘ－ａ)}ｄｘ＋∫[ａ～2]ｘ(ｘ－ａ)ｄｘ
としちゃって全然構わない。

そんなこんなで、グラフ見ながら絶対値の中身の正負を見ながら、絶対値を外せば良いのです。

No.4 回答者： SortaNerd 回答日時： 2019/12/10 22:17

答えがそうだからとしか言いようがありません。

アイウエオカキとクケを合わせて1つの答えです。
答えが分かる前にクケの値を考えることはできません。