三角関数の値を具体的に

三角関数の値が具体的に求められる（θ，cosθ）の組って，
θ = 2πの有理数倍
以外にありますか？

「具体的に」の意味は，
「代数的に」という意味でもいいですし，
なんか特殊関数を使ってもいいんですが

質問者からの補足コメント

• >なんか特殊関数を使ってもいいんですが
  
  もちろん三角関数以外の特殊関数という意味です．

    補足日時：2019/12/26 07:46

• 失礼，初等超越関数ありにしてしまうと，cos√2 = ( exp(i√2) + exp( -i√2) )/2となって，自明すぎるので，
  代数的に，すなわち，累乗根と四則演算で，という意味に限定しておきましょう．

    補足日時：2019/12/26 20:57

• 特に，θ=(2/7)Πということであれば，話は比較的簡単で，
  1の7乗根が求まればいいわけですから，
  
  z^7 - 1 = (z-1)(z^6+・・・+z+1) = 0より，
  z^6+・・・+z+1= 0の両辺をz^3で割って，u = z+1/zと変換すれば，
  uの三次式になりますから，カルダノの公式でも使って，二倍角の公式を用いれば
  
  cos((2/7)Π)は四則演算と累乗根で表現できます．

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/12/26 21:47

• 失礼，二倍角はいらないですね．
  ともかく，cos((2/7)Π)は四則演算と累乗根で表現できます．

    補足日時：2019/12/26 21:50

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2019/12/26 07:56

あなたの頭の中に『具体的に』って、どういう意味なんですか？

だって sin 45deg = 1 / sqrt(2) というのは、十分に明確で具体的ですが、
おそらく貴方の頭の中で無理数は『具体的』に分類されていないでしょう？

この回答へのお礼

その辺は任意に設定してもらっていいですが，質問者側が提案する意味としては，

代数的・・・四則演算と累乗根
初等超越的・・・三角関数以外の初等超越関数，すなわち，指数関数と対数関数と有理関数，累乗根
超越的・・・楕円関数，ガンマ関数，ゼータ関数など

あたりでしょうか．

お礼日時：2019/12/26 08:10

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2019/12/26 14:17

「θ = 2πの有理数倍」ではなく「θ = 2πの整数倍」でしょ。

θ=(2/7)Π では cosθ の 具体的な値は無理ですね。
勿論「θ = 2πの整数倍」は 当然ですが 他にも沢山あります。
Π/2、Π/3 の 整数倍 等は 基本的な値ですね。
Π/6 の整数倍 も 計算で求められますね。

この回答へのお礼

代数的にであれば，「θ = 2πの有理数倍」であってます．

複素数zに対し，z^n=1の解は累乗根と四則演算で書けますから（ただし，アルゴリズムがあるかどうかは不明，しかし，Mathmaticaでn=20ぐらいまでは書けることは以前確認したはず），
cos(2π/ｎ)の値は累乗根と四則演算で書くことが出来ます．

cos(mθ)は，cos((m-1)θ+θ)として，加法定理を使えば，帰納的にcosθとsinθの多項式で書けることが分かりますから，
結局，「θ = 2πの有理数倍」に対し，cosθは累乗根と四則演算で表記可能です．

お礼日時：2019/12/26 20:29

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/12/28 00:12

ふと思ったんだけど「三角関数の値が具体的に求められる（θ，cosθ）の組」はどう解釈するべきなんだろう. 例えば

cos α = 3/5 であるような α
は存在するわけだけど, この α は θ として使っていい?

あるいは「累乗根と四則演算で」もちょっとあやしいところがあって,
cos i = (e + 1/e)/2
は「e と 2 という定数から四則演算で求まる」といえちゃうんだよね.

この回答へのお礼

>は存在するわけだけど, この α は θ として使っていい?

逆三角関数ありにしてしまうと自明すぎるので，なしの方向で


>cos i = (e + 1/e)/2
>は「e と 2 という定数から四則演算で求まる」といえちゃうんだよね.

その辺は任意に設定できる，ということにしましょうか

お礼日時：2019/12/28 13:37