どうして黄色線、青色線のように示せるのかわかりません。特に黄色線です。詳しい説明を教えてください。

どうして黄色線、青色線のように示せるのかわかりません。特に黄色線です。詳しい説明を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/01/21 14:17

まずは蛇足から

なんなら、「」内は読み飛ばしてもらっても結構です

「微分の公式　{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)の両辺を積分すると
∫{f(x)g(x)}'dx=∫{f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}dx=∫f'(x)g(x)dx+∫f(x)g'(x)dxなので
移行して
∫f'(x)g(x)dx＝∫{f(x)g(x)}'dx－∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)－∫f(x)g'(x)dx
これが部分積分(不定積分版）です
∫{f(x)g(x)}'dxは　f(x)g(x)を微分して積分しているので元に戻ってf(x)g(x)です」

本編
2xlogxの積分を部分積分で　と決めたとします
このとき思いつくのは　2xlogxの要素を分割してみて
①微分して2xとなる式
②微分してlogxとなる式
③2xlogx=１・2xlogxとみて
微分して1
となる式を考えることです
②は厄介そうなので①か③でということになりますが、③も後々部分積分を進めていくと2xlogxの微分をしなければならなくなるので
まずは①でやってみようと考えるのが自然です

微分して2xになる式は簡単に見つけることができてx²ですから
ですから、部分積分の公式：∫f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)－∫f(x)g'(x)dx　と問題を照らし合わせて
f'(x)=2x,g(x)=logxだと考えれば　f(x)はf'(x)=2xを微分する前のx²となります→つまりf(x)=x²なのでf'(x)=(x²)'です
g'(x)=(logx)'=1/xですから
この関係を公式に当てはめれば
公式の左辺＝∫(x²)'logxdx
公式の右辺=[x²]-∫x²(logx)’dx　です
つまり部分積分で解くなら、f(x)=x²、f'(x)=(x²)'=2x ,g(x)=logx とみて
∫2xlogxdx=∫(x²)'logxdx=[x²]-∫x²(logx)’dx ・・・ただし積分区間は省略
という式で書くことができるのです

次に青線のある行は前述の公式を利用するときには不要な式です
∫2xlogxdx=∫(x²)'logxdx=[x²]-∫x²(logx)’dxの続きを計算していけばそれですみますから・・・
画像が言いたいことは
蛇足部分を読んでもらえばわかりますが、公式のもとは
∫{f(x)g(x)}'dx=f(x)g(x)=∫f'(x)g(x)dx+∫f(x)g'(x)dxなので
積分区間付きの定積分では
中辺＝[f(x)g(x)](１→e)=f(e)g(e)-f(1)g(1)=e²loge-1²log1=e²-1　
右辺=∫(x²)'logxdx+∫x²(logx)'dxですから
青線の行の式が得られるということです

この回答へのお礼

ありがとうござます！

お礼日時：2020/01/21 19:19

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/01/21 01:09

黄色線は無視して、次の2行を比べてください。

1行目は、微分したものを積分しているので元に戻ります。
2行目は、積の微分公式を利用しています。
∫(x:1→e) (x²・log x)´dx=[x²・log x] (x:1→e)=e²・log e-log 1
∫(x:1→e) (x²・log x)´dx=∫(x:1→e) (x²)´log x dx+∫(x:1→e) x²(log x)´dx
よって、
∫(x:1→e) (x²)´log x dx+∫(x:1→e) x²(log x)´dx=e²・log e-log 1

この回答へのお礼

ありがとうござます！

お礼日時：2020/01/21 19:18