No.1
- 回答日時:
問題文から考えると、C,Dに関する条件が足りません。
単にMを通るだけのだけの弦ならば、1点を通ればいいだけで無数に引くことが出来ます。
例えば、「ABを接線とする」、あるいは、「円O上の点で、CP=DPであるC,D点」などの条件が抜けていませんか?
No.2
- 回答日時:
とりあえずNo.1さんの指摘は正しくないという事を。
CP=DPなら明らかにCとA、DとBまたはCとB、AとDが一致しますから問題は明らか、というか問題になっていません。弦っていうのは直線じゃなくて線分なんですがそこんところを誤解してらっしゃるような?
問題はその無数にある弦のすべてにおいて、CとD(これは円周上の点ですが)が∠COP=∠BOPを満たす事を証明せよといっているわけです。
さて質問者へのアドバイスですが接弦定理あたりを使って三角形の相似からもっていくぐらいがいいんじゃないかと。CO=BOあたりだと合同を目論んでらっしゃるようですがこの場合合同より相似(角の相等ならそれで十分)だと思いますが。
No.3
- 回答日時:
#1のDoragonFnagです。
自己レスです。すみません。#2のpyon1956さんのおっしゃる通り、
弦の定義を勘違いしておりました。済みません。
ついでにいうとC,Dが円O上にある、という自明のことを思いつきませんでした。
#2で指摘されているように、角度のもんだいなので、相似を証明できればいいように思いますが。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
昨日からずっと考えていたのですが、やっと閃きました。
基本的には、
>4点C,O,P,Dが同一円周上にある
という事を方べきの定理(の逆)をつかって証明します。
ご存知かとは思いますが、方べきの定理とは
「ある円Oと円周上にない点Pがあり、Pを通るニ直線がこの円OとそれぞれAとB,CとDで交わるならば、PA*PB=PC*PDが成り立つ」
というものです。
また、この定理は逆も成立します。つまり、
「線分ABと線分CD、または、それらの延長どうしが点Pで交わり、PA*PB=PC*PDが成り立てば、A,B,C,Cは同一円周上にある」
という事がいえます。
では、このことを念頭に本題に入ります。
A,B,C,Dは円Oの円周上にあるので、方べきの定理より
AM*BM=CM*DM・・・★
が成り立ちます。
さらに、∠PAO=∠PBO=90°なので、P,A,B,Oは同一円周上にあります。(POを直径とする円上にある)
よって、方べきの定理より
AM*BM=OM*PM・・・◎
が成り立ちます。
★と◎より
CM*DM=OM*PM
となります。
線分CDと線分OPは点Mで交わり、CM*DM=OM*PMを満たすので、方べきの定理の逆から、C,D,O,Pは同一円周上にあります。
あとは、hiiro_hiiroさんの考え通り、OC=ODより、∠CPO=∠BPO
となります。
ただし、弦CDと線分OPが平行のときは、方べきの定理の逆が使えない(と思う)ので、この証明では考えていないことになります。まぁ、この場合は、∠CPO=∠DPO=0となるので、問題ないでしょうが。
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