物理振り子の周期について画像の上は問題解答で下は自分の考えと質問です。問題の(ⅱ)(ⅲ)で詰まっ

Question

物理振り子の周期について
画像の上は問題解答で下は自分の考えと質問です。
問題の(ⅱ)(ⅲ)で詰まっています。
・物理振り子の周期は問題集に公式だけ載っていましたが、大学で購入した教科書には書いていませんでした。導出というか成り立ちがわかるのなら教えてほしいです。難しすぎるから載っていないということであれば公式だけ覚えることにします。
・(ⅲ)で周期を求めようとしたところ解答と考えが違いました。解答に書いてある意味と、自分の回答が途中で解けなくなった理由が知りたいです。

よろしくお願いします。

masterkoto · Accepted Answer

下図は微小な角度θで振れる振り子に関する力の図です（振り子の糸の質量は０、振り子の重心は黒丸）
近似を行うのでθは微小、つまり問題のタイトルにもあるように振動幅が微小な時について成り立つ公式の導出法が以下のようになります

下図は、鉛直線(つり合いの位置をOとする)に対して微小な角度θまで振れたときの振り子に働く重力を
振り子が描く円の接線方向（mgsinθ)と法線方向(mgcosθ)に分解した図です
θが非常に小さいのでOから黒丸（Q)までの円周（弧）は直線xとみなすことができます
すると建前上は赤直線xは重力の分力mgsinθの矢印（ベクトル）の延長線だから、ｘはQにおける円の接線で、∠PQO=90度と考えることができます
したがって、直角三角形PQOの三角比から　sinθ≒x/L　です（ただし　OP=L 。また弧を直線に近似しているので＝　ではなくて　≒）
または　弧の長さ(l)=半径(r)xθ⇔θ=l/rですが
θが微小のときθ≒sinθと近似できるので
sinθ=l/r=x/L と考えても良いです

これを用いて、mgsinθ≒mgx/Lで、これが振り子が原点に戻ろうとする復元力となります（mgcosθは糸を引っ張る方向へ働くので、元の位置へ戻ろうとする原動力にはならない）
さて、赤直線を右方向へ延びるx軸と考えると、位置x（原点からの変位x)での復元力Fは変位の向きとは真逆の向きになるので
F=-(mg/L)x…①とみなせます（先ほどまでは円の接線とみなしていたxですが、θが微小なので、都合が良いようにここからはx軸は水平とみなします。）
すると、弧の振り子の運動は復元力Fの水平な単振動とみなせるわけです（Fがxに比例しているような関係にあるとき単振動となります・・・詳細は以下）

さて、単振動の変位はx=Asinwt(Aは振幅・・・最大の振動幅、wは角周波数、tは時刻)
と表されるわけですが　
その速度は、v=dx/dt=Awcoswt
その加速度はa=dv/dt=-Aw²sinwt=-w²x
となります
運動方程式F=maに加速度aを代入して
F=-mw²x
ここに、mw²は定数なので、この比例定数をmW²=kと置けばw=√(k/m)で
F=-kx…② となり単振動の復元力は位置ｘに比例していることが分かります
そして単振動の周期をTとすると
T=2π/w ですから　⇔T=2π/w=2π√(m/k)となります

ここで、本線に立ち戻ると先ほど述べたように微小振動の振り子も単振動とみなせますので
復元力①の式と単振動の復元力②は本質的には同じものであると言えます
見比べて　k=mg/Lなので
振り子の周期はT=2π√m/k=2π√(L/g)と導かれます（質問者さんの持っている公式集とは文字がちがうかもしれませんので注意してください）

次に　３です
質問者さんは√の中が０ならば最小と考えているようですが　それは正しいでしょうか
例として
y=√(x²+1)を考えてみてください！
Y=x²+1は頂点(0,1)の２次関数のグラフですから　x²+1の最小値は0ではありません！（min=1です）
このように、√の中身が０にならないケースもありますから、√の中身＝０で最小とは必ずしも言えないのです！
（正しくは（√の中身が0以上の場合）　√の中身が最小なら　式全体も最小です！
→例でいえば、x²+1が最小値1を取るとき　、√(x²+1)も最小値√1をとります）

ですから、模範解答のように「合成関数の微分法」で微分して
T=の関数の増減表を書いてみる（イメージする）のが標準的な考え方なのです（合成関数の微分法に関しては数学のテキストを参照してください）

ただし今回は相加平均≧相乗平均が使える形をしていますので
これを利用すると微分を使わなくても済みます
L²/(12h)>0,h>0だから相加平均≧相乗平均が成り立ち
{L²/(12h)+h}/2≧√[{L²/(12h)}・h]=√(L²/12)
⇔L²/(12h)+h≧L√３
等号成立、つまり　L²/(12h)+hが最小となるのは　L²/(12h)=hのとき！
L²/(12h)=h⇔ｈ²=L²/12
⇔h=L/√12
（このとき　√の中身が最小だから、Tも最小）

yhr2 · Answer

No.1 です。「補足」に追加された内容を見ました。画像もクリアに見えました。

＞(ⅱ)(ⅲ)で詰まっていると書きましたが間違えてました。(ⅰ)(ⅲ)でした。

はい。どちらも考え方は #1 に書きました。

＞あとは自分の回答はどこがいけないのか教えてほしいです。

まず、(i) についてはどんなテキストにも「振り子の単振動」の微分方程式、その解き方は懇切丁寧に書かれていると思います。
ただし、通常書かれている「質点」の振り子に対し、ご質問のような「質量が均一の分布した棒」の場合には、力のかかり方（重心）と「慣性モーメント」を考えるところが「応用」ですが、考え方は同じです。

↓　振り子の単振動（振り子が質点の場合）
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/category/mechanics/masspoint_mechanics/simple_pendulum/henkan-tex.cgi?target=/math/physics/category/mechanics/masspoint_mechanics/simple_pendulum/sp_approximate_solution.html

(iii) について書かれた「手書き」の内容では、
「例：y=√x のグラフからルート内を 0 にしようと考えた」
というのは、方針・やり方として全く間違っています。
x=0 にしたら y=0 になるだけで、周期の式でいえば「周期を 0 にする」ということですよ？
そりゃあ、T=0 なら「考え得る中で最小の周期」にはなりますが、それでは運動していないことですから。

質問者さんは、高校数学の「関数」で「関数の最大、最小」は学ばなかったのかな？　
そして「微分」では、関数の「極点」（極大、極小）になる必要条件が「1次導関数 = 0」、それが「極大」か「極小」かを判定するのに「二次導関数」を使うことも。
「関数の増減表」なんて作りませんでしたか？

いずれにせよ、質問内容を見る限り「微分、積分」を使いこなせないようなので、その状態ではこの問題を解くことは無理です。
まずは「微積分」の基本を、高校数学の範囲でよいので「復習」（あるいは勉強）してください。
話はそれからです。

(iii) についていえば、(ii) で求めたT の式（これだって、(i) が分かっていなければ導き出せませんよ、(i) から「慣性モーメント」を変更するだけ南尾ですから）
　T = 2パイ√{ (1/g)[L^2 /(12h) + h] }　　　　　　　　①
が h の関数であるとき、0<h≦L/2 に対して T が最小となる h を求める問題です。
「関数の最大、最小」を求める問題です。

極大、極小になるための「必要条件」が、一次導関数 = 0 ですから
　dT/dh
を求めなければいけませんが、これはちょっと複雑な関数です。

定数「2パイ√(1/g)」は外に出して
　X = √[L^2 /(12h) + h]
とし、かつ
　Y = L^2 /(12h) + h
とおけば、「合成関数の微分」から
　dX/dh = (dX/dY)(dY/dh) = d(√Y)/dY * d[L^2 /(12h) + h]/dh
= (1/2)Y^(-1/2) * [-(L^2 /12)/h^2 + 1]
= (1/2)[L^2 /(12h) + h]^(-1/2) * [-(L^2 /12)/h^2 + 1]
ですから、

dT/dh = 2パイ√(1/g) * (1/2)[L^2 /(12h) + h]^(-1/2) * [-(L^2 /12)/h^2 + 1]　　　　　②

になります。これが「解説」の (iii) の2行目の式ですね。
あとは、これから
　dT/dh = ０
となるときの h が「極値」をとるときの h ですから、①の式から
　[L^2 /(12h) + h]^(-1/2) ≠ 0
なので
　-(L^2 /12)/h^2 + 1 = 0
を満たす h のときに「極値」をとることになります。

解説では触れていませんが、きちんとした回答にするには、この「極値」が「極小」であり、かつ「0<h≦L/2 に対して最小」であることも調べなければいけません。

もし「計算が面倒」だと思うなら、①式の最小は、ルートの中の最小なので
　f(h) = L^2 /(12h) + h
を「0<h≦L/2 に対して最小」にする h を求めてもよいです。
　f'(h) = -(L^2 /12)/h^2 + 1 = 0
となるのは
　h = √(L^2 /12) = L/(2√3)
f(h) の二次導関数は
　f''(h) = (L^2 /6)/h^3
なので
　f''(L/(2√3)) = (4√3)/L >０
であり、f(h) はこの h = L/(2√3) で「極小」になることが分かります。
このとき
　f(L/(2√3)) = (√3 /6)L + L/(2√3) = (√3 /6)L + (√3 /6)L = (√3 /3)L　　　③

かつ、h の定義域「0<h≦L/2」対して
　h→0 のとき f(h)→+無限大　　　　　　④
　f(L/2) = (1/6)L + L/2 = (2/3)L　　　　⑤
③は、④⑤よりも小さいので、この範囲での「最小」ということになります。

従って f(h) はこの h の範囲で最小となり、T も最小になります。

yhr2 · Answer

棒に働く力は、重心（棒の中央）位置に鉛直下向きの重力だけ。
棒が鉛直方向となす角を θ とすると、棒と垂直方向に働く力（振子を回転させる力）は
　Mg*sinθ
である。

この力が、棒を回転させようとするトルクは
　F = -(L/2)Mg*sinθ
（θ の方向と逆向きなのでマイナスを付けた）

従って、棒の回転の運動方程式は
　-(L/2)Mg*sinθ = I*d²θ/dt²　　　　　①

ここで、おそらく「θ が非常に小さいとき」という仮定のもとに
　sinθ ≒ θ
という近似を行なって、①を
　d²θ/dt² ≒ -(L/2)Mg*θ/I

これを解けば
　θ(t) = C1*cos(ωt) + C2*sin(ωt)
（ただし、ω = √[(L/2)Mg/I]）

周期は
　T = 2パイ/ω = 2パイ√[I/(L/2)Mg]

高校物理ではこの周期は「公式」として与えられますが、大学なら上の微分方程式を解いて求められるはずです。

＞難しすぎるから載っていないということであれば

いやいや、基本中の基本ですよ。載っていないとすれば、微分方程式を解けば簡単に求まるからでしょう。

この (i) が解けないようなら、(ii)(iii)は無理でしょうね。

(ii) は単純に「慣性モーメント：I」が変わるだけ。

(iii) 最小になるためには、まず「極値」を持たないといけない。それには導関数が 0 になる点を求めればよい。その「極値」が「極大」か「極小」か、「極小」ならばそれが「最小」になるかを判定すればよい。

物理振り子の周期について 画像の上は問題解答で下は自分の考えと質問です。 問題の(ⅱ)(ⅲ)で詰まっ

下図は微小な角度θで振れる振り子に関する力の図です（振り子の糸の質量は０、振り子の重心は黒丸）

No.1 です。

棒に働く力は、重心（棒の中央）位置に鉛直下向きの重力だけ。

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