数学の部分分数分解について質問です。下に写真あります。 ①が一般的な部分分数分解だと思いますが、②の

数学の部分分数分解について質問です。下に写真あります。

①が一般的な部分分数分解だと思いますが、②の 1/x(x＋2)では、答えが1/2((1/x)−(1/x−2))になってしまうと習いました。途中式の板書がなかったため自分で計算したところ、その答えにはならなくて(1/x)−(1/x＋2)−(1/x(x＋2))というよく分からない式になってしまいました。

ということで②の途中式をお願いしたいです。回答お待ちしております。

No.2 ベストアンサー 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/04/30 11:07

①と同じように式を作っていってみたらいかがですか。

1/x(x+2)
={(x+2)-x}/x(x+2)
おや？分子を計算すると　(x+2)-x=x+2-x=2　え？2？　問題の分子は 1 です。
1じゃないとまずいですよね。分子の2を1にするためには1/2をかけて1にするしかないですね。
1/x(x+2)
=1/2 {2/x(x+2)}　　　　　　　　　　　　これで分子が1になります
=1/2 {(x+2)-x}/x(x+2)
=1/2 {(x+2)/x(x+2)-x/(x(x+2)}
=1/2 {1/x - 1/(x+2)}

No.4 回答者： tekcycle 回答日時： 2020/04/30 22:54

1　　　　　　1　　　　　　(ｘ＋1)－(ｘ＋0)　　　　　　　1

---------　－　----------　＝　 --------------------　＝　 -----------------
(ｘ＋0)　　　　(ｘ＋1)　　　　(ｘ＋0)(ｘ＋1)　　　　　(ｘ＋0)(ｘ＋1)

　　1　　　　　　1　　　　　　(ｘ＋2)－(ｘ＋1)　　　　　　　1
---------　－　----------　＝　 --------------------　＝　 -----------------
(ｘ＋1)　　　　(ｘ＋2)　　　　(ｘ＋1)(ｘ＋2)　　　　　(ｘ＋1)(ｘ＋2)

　　1　　　　　　1　　　　　　(ｘ＋3)－(ｘ＋2)　　　　　　　1
---------　－　----------　＝　 --------------------　＝　 -----------------
(ｘ＋2)　　　　(ｘ＋3)　　　　(ｘ＋2)(ｘ＋3)　　　　　(ｘ＋2)(ｘ＋3)

　　1　　　　　　1　　　　　　(ｘ－0)－(ｘ－1)　　　　　　　1
---------　－　----------　＝　 --------------------　＝　 -----------------
(ｘ－1)　　　　(ｘ－0)　　　　(ｘ－1)(ｘ－0)　　　　　(ｘ－1)(ｘ－0)

　　1　　　　　　1　　　　　　(ｘ＋2)－(ｘ＋0)　　　　　　　2
---------　－　----------　＝　 --------------------　＝　 -----------------
(ｘ＋0)　　　　(ｘ＋2)　　　　(ｘ＋0)(ｘ＋2)　　　　　(ｘ＋0)(ｘ＋1)

　　1　　　　　　　1　　　　　　(ｘ＋ａ＋ｂ)－(ｘ＋ａ)　　　　　　　　ｂ
---------　－　-------------　＝　 -------------------------　＝　 -----------------------
(ｘ＋ａ)　　　(ｘ＋ａ＋ｂ)　　　　　(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)　　　　　(ｘ＋ａ)(ｘ＋ａ＋ｂ)

上記の左辺っぽい物を作ってやって、計算して、
だからやり方としては、分母の(ｘ＋ａ)(ｘ＋ａ＋ｂ)を見たら、なんとなく上記左辺っぽい物を思い浮かべて、そっちから計算してみる。
それが必要な場合はね。
1／2だの1／ｂだのは、後から調整する。
「数列」の計算なんかは、これでもの凄く楽になることがよくあります。

　　　　1　　　　　　　　　1　　　　　　　　　　1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　　　　
-----------------　＋　------------------　＋　-----------------　＋・・・・・・・＋　-----------------------　＝
(ｘ＋1)(ｘ＋2)　　　　(ｘ＋2)(ｘ＋3)　　　(ｘ＋3)(ｘ＋4)　　　　　　　　　　　　(ｘ＋ｎ－１)(ｘ＋ｎ)

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/30 14:34

1/{ x(x+2) } の部分分数分解は A/x + B/(x+2) という形になります。

これは、x に代入できない値は何か？ を考えると、最初から判ります。
1/x - 1/(x＋2) - 1/{ x(x＋2) } については、その式の 1/{ x(x＋2) } を
更に分解したらどうなるかを考えてみたらいいでしょう。
ともかく、部分分数分解の最終的な形は A/x + B/(x+2) です。
(1/2){ 1/x - 1/(x+2) } でも実用上問題はありませんが、本来は
(1/2)/x + (-1/2)/(x+2) です。

さて、この分解の導き方ですが、
1/{ x(x+2) } = A/x + B/(x+2) の分母を払って
1 = A(x+2) + Bx とするのが簡単です。
x = 0 と x = -2 を代入すれば、A と B の値が判ります。
両辺に x(x+2) を掛けて分母を払った後に
x = 0, x = -2 を代入するのに心理的抵抗がある人は、
代入するのではなく x → 0, x → -2 の極限をとるといいでしょう。
( 代入してもよい理由はちゃんとあるのですが、
代数学にある程度慣れていないと
そこの説明は腑に落ちないかもしれません。 )

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/04/30 09:53

1/x－1/(x+2)

=(x+2)/x(x+2)－x/x(x+2)
={(x+2)-x}/{x(x+2)}
=2/{x(x+2)}

これを逆にみると
2/{x(x+2)}=1/x－1/(x+2)
したがって、
1/{x(x+2)}=(1/2){1/x－1/(x+2)}

1/{x(x+2)}
=(1/2)[{(x+2)-x}/{x(x+2)}]
=(1/2)[(x+2)/{x(x+2)}－x/{x(x+2)}]
=(1/2){1/x－1/(x+2)}