3変数のシェーファー関数の例（完全に証明されているか？）

「論理学をつくる」戸田山本　p80です。

シェーファー関数の問題です。
画像を添付しました。
私の疑問点は以下になります。

#PQRが3変数：(P∨Q)→¬Rを表しているとします。
あくまでも#PQRは(P∨Q)→¬Rを表しているとします。
＃が3変数のシェーファー関数と現時点では認めないとします。

この時#AABは
#AAB ⊨⫤ (A∨B)→¬B ⊨⫤ A→¬B ⊨⫤ ¬(A∧B) ⊨⫤ A⎮B
#AABはA⎮Bとなり確かに2変数のシェーファー関数A⎮Bと一致して十全になります。

しかしこれでは#ABC：3変数の場合は証明されていません。#ABCの特殊な事例#AABの場合のみ証明しただけです。
#ABC(3変数)はシェーファー関数で十全であると完全に証明できているといえるのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/09 21:09

「十全」って何や？と思ったけど、

その関数の合成で任意の論理関数が構成できることなんやね？
(Wiki を調べたら、「十全」のことはシェーファー関数を参照、
「シェーファー関数」のことは十全を参照になってて、ちょっと
イラッとした。ご隠居に蒟蒻屋の場所聞いてんのとちゃうで。)

A|B が2変数シェーファー関数であることが判っとんのやから、
A|B を合成して A∧B, A∨B, ¬A を作れる。 これを使うて、
8種類の A∧B∧C, A∧B∧¬C, A∧¬B∧C, A∧¬B∧¬C,
¬A∧B∧C, ¬A∧B∧¬C, ¬A∧¬B∧C, ¬A∧¬B∧¬C
が皆作れる。 この中から、作りたい論理関数の値が 1 になる
ような A,B,C の値に対して 1 になっとるものを拾い集めて、
全て ∨ で結べば、任意の論理関数が作れる。
このとき使うた A|B を A|B = #AAB で作っときゃええ。

この回答へのお礼

#ABC 異なる３変数A,B,Cに拘って２変数のシェーファー関数⎮への変換と考えていて、それに頭が凝り固まっていていました。
ありものがたりさんの回答でそれから距離を取り考えることができ解決しました。
ありがとうございました。

お礼日時：2020/06/11 11:16

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/06/09 18:18

いえる.