示して欲しいものが二つあります。 ①電流密度が電荷密度と電荷の速度ベクトルの積になるということ ②電

示して欲しいものが二つあります。
①電流密度が電荷密度と電荷の速度ベクトルの積になるということ
②電流密度を面積積分すると電流になると言うこと
このふたつです。
当たり前だろと思われるかもしれませんがそれを式で定義から定量的に示して欲しいです。

定義
電荷密度ρ=lim[ΔV→0](ΔQ/ΔV)
電流I=(dQ/dt)

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• tknakamuri様
  なんか食らいついていきたい→なんとか食らいついていきたい
  の間違いです。

    補足日時：2020/06/18 13:53

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/06/19 08:59

>詳しくわかっていると言えるかは微妙ですがなんか

>食らいついていきたいと思います。

なんか期待されてしまいましたが、はっきりいって
図が沢山必要でしんどい(^-^;

この辺は流体力学+ベクトル解析の
連続の式あたりで詳しくやるので
教科書を見て欲しい。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/06/18 08:14

え~と、大学生？

ベクトル解析はわかりますか?

この回答へのお礼

詳しくわかっていると言えるかは微妙ですがなんか食らいついていきたいと思います。

お礼日時：2020/06/18 13:52

No.4 回答者： ファイナル弁当 回答日時： 2020/06/18 02:04

質問者様の言われる「ドット積の形」と言うのは

I=∫i･dS

ですよね。これをdSに垂直な法単位ベクトルをnとして書き直すと

∫i･ndS

となって結局最初の回答と同じ意味になります。


実は私も大学(物理学コース)に入って最初の頃は線積分や面積分の数学的意味を追い過ぎてかえって式の意味が分からなくなっていましたが、式の本質を見るようにする(≒数学的意味を必要以上に求めない)ようにしたらガウスの法則等の意味が見えるようになった経験があります。

No.3 回答者： ファイナル弁当 回答日時： 2020/06/17 23:23

想像ですが、面積積分するとはどう言う事なのかと言う(「数学的な」ではなくて)物理的なイメージがまだ分かっておられないのではと思いました。

最初の回答にも書きましたが、電流密度の最も一般的な定義は

i=I/S

です。そこで、微小面積ΔSを(面に垂直な方向に)通り抜ける電流をΔIとすると

i=ΔI/ΔS

両辺にΔSをかけて右辺と左辺を入れ替えると

ΔI=iΔS

これを曲面全体について合計すると

ΣΔI=I=ΣiΔS

それぞれのΔSを無限に小さく取ると和は積分になって

I=∫idS

「なぜ和が積分になるの?」と思われるかもしれませんが「(面積)積分とはそう言うもの」「それが(面積)積分の定義」と言って差し支えないと思います。「和が積分になる」と言う事は、高校の数学で習った「定積分で面積を求める」と言う所で出て来ているはずです。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
面積積分の物理的意味は上手く言葉にするのは難しいですがある平曲面を垂直に通過するベクトルの流れと認識しております。
よく物理をやる人はある程度数学は大雑把に扱って結論のみ重視する方が多いですが自分はそう思えず数学的にもきっちりと処理を施すべきだと思うのです。
回答者様の考え方では最終的に面積積分の形(つまりドット積の形)になっていないと思うのですがどうなのでしょうか？

回答者様の仰られる
「電流密度は単位面積あたりの電流なのだから単純に面積を足し合わせる演算をすれば電流密度になる」というのも頭では理解しているのですがやはり面積積分が普通の積分とはちがうのでそこを数学的にきっちりとしたいのです。
すみませんがよろしくお願いします。

お礼日時：2020/06/18 01:53

No.2 回答者： ファイナル弁当 回答日時： 2020/06/17 22:42

お礼を読んで。

その「一般的な場合」と言うのが質問文にあった

I=∫i･dS

ですが、これも結局のところ最初の回答に書いたものと全く同じ内容です。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
申し訳ありませんがそこがよく分かりません。
もう少し詳しくお願いできませんか？

お礼日時：2020/06/17 22:47

No.1 回答者： ファイナル弁当 回答日時： 2020/06/17 21:45

取りあえず電流密度の方を。

電流密度とは簡単に言えば「ある面積をどのくらいの量の電流が通り抜けるか」と言う事ですから、電流をI、面積をSすると、電流密度iは

i=I/S

面積積分とはザックリ言えば「その量と面積をかける事(&それを面全体で合計する事)」ですから、電流密度を面積積分した最も単純な場合は

(I/S)･S=I

つまり、電流密度を面積積分すると電流になります。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
より一般的に導出することは可能でしょうか？
つまり位置によって電流密度は一様ではないと言うことです。
よろしくお願いします。

お礼日時：2020/06/17 22:31