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磁位について
今電磁気学を学んでいるのですが、磁位について自分の中では矛盾しているような気がするので質問させていただきます。
どこが間違っているのかご指摘頂きたいです。

ある磁場H(ベクトル場)が存在するとして、rot(H)=0、つまり電流密度が0である各点に置いては電位同様に(+任意定数分の任意性はあるものの)磁位が定義できます。(定義は省略します)


ここで無限長の細い導線に下から上に正の定電流が流れている場合を考えます。

更にこの導線に直角となる平面αを考えます。
平面αと導線の交点を除いた平面α上の点ではrotHの値は0となり、磁位を定義することができるはずです。

ここで導線と平面αとの交点を中心に半径ρの円上の磁位を求めたいのですがどのような値になりますか?

ここからがよくわからなくなったところなのですが、
円上のある点を原点として、円を一周する経路をCとすると
∫(C)H・dl≠0
となりますよね
つまり磁位はこの経路上で常に増える、又は常に減ることになり、一周してきたときの磁位の値が異なることになりませんか?



まとめると、
1、(どこか間違ってると思うので)どこが間違っているか
2、実際の磁位は円上ではどの様な値をとるのか

をお答え頂きたいです。
どちらかでも構いませんのでわかる方がおられましたらよろしくお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (5件)

肝心な質問2に答えていませんでした。


以下のように無限直線の場合、単連結には取れません。#3の方のように、
直線とそれに接する片半平面を領域から除去すると、単連結になります。

H=I/(2πr)だから、適当な点をとって、Hを線積分したものが、ポテンシ
ャルになります。当然、除去した、半平面の裏表ではポテンシャルの値
は±I/2異なりますが、微分した、Hは同じになるはずです。
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磁位を(スカラー)ポテンシャルとします。


ポアンカレの定理により、rot H=0かつ「単連結領域」において、ポテンシ
ャルが存在します。

従って、3次元の場合は1点(ある塊でもよい)を除いたある領域を考え
たとき、任意の2点を結んだ任意ひもは、お互いに連続的に他方に移動して
一致させることができます(単連結)。

つまり、ある点で rot H≠0 でも、それを除いた単連結領域では rot H=0
であればポテンシャルが存在します。

しかし、定常電流のときは連続の式により、閉曲線(位相的にドーナツ)
にならざるを得ず、単連結領域とすることができないのです。

なお、2次元のときは、1点で rot H≠0であれば、上のようにひもを移動
できず単連結ではなく、ポテンシャルは存在しません。これは3次元であっ
ても同軸管や無限直線のように、実質、2次元のような位相と同様です。


つまり、rot H=0だけではだめで、領域の位相的な性質が絡んでいる
という縛りがあります(なお、上の話は受売りで、私の能力の限界を超
えていますので参考程度に)。
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基本的には#1さんお仰る通りですが、多価関数でも良い事にすれば0でない体積の領域でrotH=0である領域内で磁位のようなものは存在して、


直線電流の場合なら、磁位はθの1次関数になります。θは直線電流をz軸とするような円筒座標系の角度座標です。

多価関数は取り扱いが大変なので、複素関数論でのリーマン面のような感じで、ある地点Aと電流の周りを回って戻ってきた後の地点Aを区別する事にした方が数学的には扱いやすいかもしれません。
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AN01です。



>これが間違い。本来、磁位が存在する条件とは任意の経路で 
> ∫(C)H・dl≠0

訂正。∫(C)H・dl=0 が正しいです。
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>平面αと導線の交点を除いた平面α上の点ではrotHの値は0となり、


>磁位を定義することができるはずです。

これが間違い。本来、磁位が存在する条件とは任意の経路で 

 ∫(C)H・dl≠0 

ここから、あらゆる点で

rotH = 0

が出てきます。つまり、1点でもrotH ≠ 0 の点があってはいけないのです。
故に、電流より生じた磁場は磁位を持ちません。
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