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立方体の導線の電気抵抗

図のように、一様な導線で立方体を作った。
一辺の電気抵抗をRとすると、
AG間の電気抵抗はいくらか。

「立方体の導線の電気抵抗」の質問画像

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A 回答 (2件)

考え方その1.


AG間に電圧源をつないだと考えると、対称性からBDEが等電位、同様にCFHが等電位になる。
等電位の点は接続しても影響が出ないので、BDEを接続、CFHを接続すると、A-BDE-CFH-Gのような回路になって、A-BDEがR/3, BDE-CFHがR/6、CFH-GがR/3、合計5R/6。

その2.
AG間に電流Iを流す。
対称性から、AB,AD,AEには等分に電流I/3が流れる。
同様にBからC,Fへも等分に電流I/6が流れ、F,H,CからGへも等分に電流I/3が流れる。
A-B-C-Gの経路で電圧降下を計算すると、RI/3+RI/6+RI/3=5RI/6。したがって、抵抗は5R/6。

という具合に計算できるかと思います。
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この回答へのお礼

ご回答頂き、誠にありがとうございます。

その2の考え方が分かりやすかったです。
とても参考になりました。

お礼日時:2010/09/14 20:10

立体の対称性からAG間に直流電圧Eを印加したとき、


Aから流入する電流Iは、AB、AD、AEにI/3ずつに等分割して流れ、B,
D,Eのそれぞれの接点でさらに1/2のI/6の電流に等分割して枝電流として流れ、
それらの枝電流I/6がC,F,HでI/6+I/6=I/3の電流に合流しCG,FG、HGに
それぞれ枝電流I/3のとして流れる。それらの枝電流がGで合流し元のIになり電源に戻る。
したがって、節点B、D、Eの電位は等しく同じ電位になるためB,D,Eを短絡しても
回路の電流や電位に影響を与えない。また同様に接点C、F、Hもどう電位になる
ので短絡しても回路の電流や電位に影響を与えない。
これらのことから、B、D、Eを短絡(AB,AD,AEの抵抗Rは3個並列接続になるので合成抵抗はR/3となる)、C、F、Hも短絡
(CG間の合成抵抗R/3,BC間の合成抵抗はBC,DC,DH,EH,EF,BFの6個の抵抗Rが並列接続
になるので合成抵抗はR/6)した回路と電流、電位的に等価となる。
したがって、全体の合成電気抵抗Roは、R/3とR/6とR/3の直列接続と考えてよいので

 Ro=R/3+R/6+R/3=5R/6

となります。
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この回答へのお礼

丁寧にご回答頂き、誠にありがとうございます。

短絡するという考え方が理解できませんでした。
もっと精進して勉強いたします。

お礼日時:2010/09/14 20:11

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Aベストアンサー

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問題
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回路は下のとおりです。
           b 
         / | \ 
電池(V)― a -  c―  e ― 電池(V)にもどる
         \ | / 
           d 

わかりにくい図ですが、a, b, c, d, eはすべてつながっています。a, b, e, dを頂点としたひし形で、対角線が入った状態です。そしてその8本のひし形の辺と対角線がすべて抵抗値rの抵抗線でつながれています。

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解説では、回路の対称性より、電池からでるのが、I.
a-b間とa-d間をI2
a-c間をI1
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それなら最初から、a-b, a-c, a-dそして、b-e, c-e, d-eも同じ文字でおけばいいと思いますが、それでもよいでしょうか?
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長くなってしまいましたが、
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よろしくお願い致します。高校物理です。今、特に対称性のある回路について勉強していますがわからないことがあります。

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           b 
         / | \ 
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         \ | / 
           d 

わかりにくい図ですが、a, b, c, d, eはすべてつなが...続きを読む

Aベストアンサー

>それなら最初から、a-b, a-c, a-dそして、b-e, c-e, d-eも同じ文字でおけばいいと思いますが、それでもよいでしょうか?

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Q合成抵抗の求めかた

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Qブリッジ回路の平衡条件について教えて下さい。

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○R1R4=R2R3

とあります。

何故このようになるのでしょうか?
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宜しくお願いします。

Aベストアンサー

R1とR3の点の電位Aと、R2とR4の点の電位Bが同じであれば平衡している状態ですね。
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R1*R4=R2*R3・・・・となります。

>何故このようになるのでしょうか?
上の説明を参照ください。

>この時、R1+R3=R2+R4
>になると考えても問題ないでしょうか?
いいえこれは誤りです。
R1=R2、R3=R4 の場合のみしか成り立ちません。
R1*R4=R2*R3 か、R3/(R1+R3)=R4/(R2+R4)・・・・です。
 

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一般的な解法としては回路方程式を立てて線形連立方程式を解くことになりますが、この問題は対称性を利用して比較的簡単に求まりそうです。

1)立方体の平面表現
立方体の稜線を2次元に展開するため先ず大きなひし形を一つ書き、その内側に小さいひし形を書きます。外側のひし形の頂点を上から左回りにABCD、同様に内側をEFGHとし、AとE、BとF、CとG、DとHをそれぞれ線でつなぎます。これで12本の稜線(抵抗R)の接続関係が平面的に表現できました。最上部の点がA,最下部の点がCとなります。

2)対称性を利用した合成抵抗計算
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ここで内側のひし形のE-G間の抵抗は2Rと2Rの並列でRとなりますので内側のA-E-G-Cの経路の抵抗は3Rとなります。一方外側のひし形のA-C間の抵抗はE-Gと同じくRとなりますのでこれと内側経路の3Rの並列接続により合成抵抗が下記のように求められます。

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一般的な解法としては回路方程式を立てて線形連立方程式を解くことになりますが、この問題は対称性を利用して比較的簡単に求まりそうです。

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QTTL論理素子の雑音余裕とはなんでしょうか

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TTLの論理素子の雑音余裕というものを調べているのですが、なかなか調べても出てきません。

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簡単に言うと、信号ラインにどのくらいの振幅のノイズが乗ると
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例えば、"L"を出力しているTTLがあるとします。TTLのメーカが保証する
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一方、この信号を受けるTTLは、0.9V以下の入力電圧を"L"と認識する
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0.4Vという信号に、あと+0.5Vのノイズがのると信号線は0.9Vになり
これは"L"と認識してもらえるギリギリとなります。

つまり、0.5Vを超えるノイズが乗ると誤動作する可能性が出てきます。
ここで言う 0.5Vを雑音余裕度と言います。従って"L"側と"H"に別個の
雑音余裕度がありますが、ノイズが乗るのは"H"でも"L"でも乗るので
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なお、上記の数字は例えです。正確にはメーカのデータシートをご覧
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QRC並列回路(直流)の微分方程式が分かりません

RC並列回路(直流回路)の過渡応答の微分方程式がうまく導くことができません。
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Aベストアンサー

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしました.

ただし,
v = E u(t). …(4)

(1),(2)よりi_Rを消去して,
i_C = (1 + r/R)i - v/R.

これを(3)に代入して,
v = r i + (1/C)∫(-∞,t]{(1 + r/R)i - v/R}dt
dv/dt = r di/dt + (1 + r/R)i/C - v/(C R)

∴di/dt + (1 + r/R)i/(C r) = {dv/dt + v/(C R)}/r = (E/r){δ(t) + u(t)/(C R)}.

ただし,初期条件は E = r i(0) より
i(0) = E/r.

これがこの回路の微分方程式です.

----
この微分方程式はラグランジュの定数変化法で解くことができて,初期条件を考慮した解は,t > 0 において

i
= (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}
+ E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

したがって,

i_R = E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

i_C = (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}.

コンデンサの両端の電圧は

v_C = R i_R
= E/(1 + r/R) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}]

以上の結果においてr→+0の極限を取ると,その振る舞いはANo.3の解と一致します.

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしまし...続きを読む


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