線形数学の問題です

A=(-1 -2 1 2/1 2 -1 -2/0 1 -1 -1/1 1 0 -1)の4次正方行列について。
KerAがKerA^2の部分空間であることを示し、KerA^2の基と次元を求めよ。ただし、基を与えるベクトルはKerAの基を含むこと。

KerAの基が{(-1 1 1 0),(0 1 0 1)}であることは求められました。ここから先が分かりません。
よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/06 14:29

Ker A ⊂ Ker(A^2) は、特にその A でなくても

任意の正方行列 A で成り立ちます。
Ax = 0 であれば、(A^2)x = A(Ax) = A0 = 0 ですから。

まず、Ker(A^2) の基底を見つけましょう。
ｘ ∈ Ker(A^2) は、Ax ∈ Ker A と同じことですから、
KerA の基底 { (-1 1 1 0), (0 1 0 1) } を使って
Ax = p(-1 1 1 0) + q(0 1 0 1)　{p,qはスカラー} を解きます。
成分表示して連立一次方程式を解くと、
x = r(1 -1 -1 0) + s(0 1 0 1) + p(0 0 -1 0)　{r,sはスカラー} となります。
Ker(A^2) の基底 { (-1 1 1 0), (0 1 0 1), (0 0 1 0) } が得られました。

あれ？ 求めた Ker(A^2) の基底が、まんまと先の KerA の基底を含んでいます。
これはラッキーでした。 こんなに運がよくなければ、両基底のベクトルを
KerA の基底, Ker(A^2) の基底 の順に並べて
シュミット直交化を行えば、不要なベクトルは 0 になって消えるのですが、
今回は、なぜだかその手間もいらなかったのでした。