円順列の問題の解き方を教えて頂けると幸いです。

解答解説を見ても理解できなかったため、下記の問題の解説お願いします

黄色が１個、赤色が4個、白色が4個の合計９個のビーズを環状につなげて、ブレスレットを作る。この時、作り方は何通りあるか。

①16通り　②38通り　③48通り　④64通り　⑤68通り

正解は②の38通りでした。
数学的な公式や考え方、解法手順など詳しく教えてくださると幸いです。宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/08/12 08:58

黄色を固定して考えます。

残りの8個の並べ方は円順列ではなく普通の順列になります。
同じものを4個づつ含んでいるので同じものを含む順列の公式により、8!/(4!4!)=70 （通り）

ブレスレットなので裏返すことができます。置いてある状態では別物であったものが裏返すことで同じ物ができます。
よって、これらのものはだぶってカウントしていることになるので、そのだぶりを解消しなければなりません。
ただし、黄色を中心として左右対称であるものは裏返しても同じもので別物にはなりません。
そのため、だぶってカウントしていることにはならないので、左右対称であるものを除いてだぶりを解消します。

黄色を中心として左右対称であるものは、左と右に赤色と白色が2個づつある場合です。
左側の赤色、白色2個づつ計4個の順列は、4!/(2!2!)=6 （通り）
よって、70通りのうち6通りが左右対称です。
70－６＝64（通り）は、だぶってカウントしていることになるのでだぶりを解消すると、64÷２＝32（通り）
したがって、ブレスレットの作り方は、32+６＝38（通り）です。

この回答へのお礼

公式などの説明や大変わかりやすいご解説ありがとうございました。

お礼日時：2020/08/21 22:11

No.5 回答者： tekcycle 回答日時： 2020/08/13 00:02

解法を求める前に、自分で手を動かすこと。

黄赤白が1個2個2個なら例えばどうなるのかとか。
赤赤白白
赤白赤白
赤白白赤
白白赤赤
白赤白赤
白赤赤白
で、重複を消すとどうなるかとか。
3個3個ならどうなるの、4個4個ならどうなるの。
解らない解らないうんうんうなっている間にこういうことはできてしまう。
こういう操作をしていないから、色々な発想も出てこないし、そもそもほぼ発想不可能だがこういう作業をすれば判る問題も、勿論解けない。
なんだか判らないまま、解法というブラックボックスに放り込めば答えが出てくる、ブラックボックスを必要なだけ用意すれば、というわけにはいかない。たぶん確率や数列はそれでは無理。
私は、こういう手の動かし方が、解法だと思ってる。
解答解説が理解できないのはまだしも、じゃぁあなたはどう手を動かしたのさと。足掻き方が問題。
東大京大国立医科大学ならともかく、いや、そうであってさえ、入試問題は、解けるように手加減がしてある。
おそらく余程の難関大学じゃない限り、悪足掻きして部分点すら取れないような問題はほぼ出ないし、もし出ても、殆どの受験生が解けないので合否には影響しないでしょう。

そう、この辺りの組み合わせだのなんだのは、中学入試組が小学生の時に徹底的にトレーニングしているところです。
参考書の著者であっても、中学入試で常識であることからついついスタートして解答解説書いてしまうこともあるかもしれない。
その辺りのトレーニング量で、当面すべきことが大きく変わるんだろうと思っています。
公立組には中学入試組のようなものの見え方は中々できないでしょう。

別解1。
黄色の両隣が赤黄赤、赤黄白、白黄赤、白黄白、重複を除くと赤黄赤、白黄赤、白黄白の3通り。
その両隣は、赤と白両方の可能性があるので、赤黄赤に対しては、赤赤黄赤赤、赤赤黄赤白、白赤黄赤赤、白赤黄赤白、重複を除くと3通り、
白黄赤も、赤白黄赤赤、赤白黄赤白、白白黄赤赤、白白黄赤白、重複は無い、4通り、
白黄白は同様に3通り。
赤赤黄赤赤に対しては、もう白しか残ってないので、白赤赤黄赤赤白だけ。1通り。更には、白白赤赤黄赤赤白白の1通りのみ。
白赤黄赤赤に対しては、赤が一つしか残ってないので、赤白赤黄赤赤白、白白赤黄赤赤赤、白白赤黄赤赤白の3通りのみ。
等々やって行くと、数えられるのでは。
あるいは、こうやって手を動かしているやり方を、もっとスマートにできるかもしれません。

別解2。
黄色の左側四つを自由に並べて、残りから右四つを並べる。
左が赤玉四つ、白玉四つの場合、左は1通りずつ、右は各々1通りに決まる。2通り。
左が赤玉三つ、白玉三つの場合、左は4通りずつ、右も4通りずつ。16通り。
左が赤玉二つ、白玉二つの場合、左は6通り、右も6通り。36通り。
左が赤玉一つ、白玉一つの場合、左が赤玉0、白玉0の場合、はもうやった。
全体を半分にして、それより多くて近い奴が答え。
足すと54通りで、それより多いのは除外。その半分より少ないのも除外。
6つしか重複しないということは無さそうなので答は一つ。
たぶん、左が赤玉二つ白玉二つという36通りのみが重複しまくりで、これを半分にして18通り。これに16通りと2通りを加えたら答にかなり近くなる。
左右で赤白の個数が違うものは、ひっくり返しても重複しようが無いし、重複のところは、もうやった、と既に片付けてある。
解答は端折ってありますが、手を動かせば気がつくでしょう。解答だけ眺めて理解しようとしないこと、解らないところは必ず手を動かすこと。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/12 14:49

数珠順列に組織的な解法は無く、本質的に困難な問題です。

質問の問題で特徴的なのは、黄色が１個しかないことで、
黄色の位置を基準にすれば、ブレスレットの回転を止めてしまうことができて、
なんとか解くことができます。 慎重に調整された問題だと言えるでしょう。
回転を止めても、まだブレスレットを裏返して重複する並べ方を考慮する必要はあり、
解答は No.1 のようになります。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/12 12:12

#2補足

ちなみに　円順列というより　数珠順列というほうが適切だと思います

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/12 12:07

ビーズを置く場所９か所を等間隔に円形に設ける

そして場所に1～９番という番号を時計回りにつける
（ブレスレットの表から見れば　並びは時計回りに１，２，３・・・９だが
裏から見れば　反時計回りに1,2,3・・・9という順に並んでいることになる！）

はじめに1番に黄色を置くと、のこり8か所から4か所を選んで赤を配置する方法が8C4通り
残りの位置に白を配置する方法が4C4だから合計で
1番に黄色を置いた場合のビーズの配置の仕方は8C4x4C4=8C4通り

この8C4通りの中には表から見て時計回りに（1～９の番号順に）
黄色ー赤ー赤ー赤ー白＝白ー白ー赤ー白・・・①
や
黄色ー白ー赤ー白ー白＝白ー赤ー赤ー赤…②
（ただし、円の並び１～９を図示したとき、①と円の中心をとおる直径を書き込むと
その直径は場所５と場所６のちょうど中間点を通る（というのも、この直径に対してビーズの配置場所1～９は線対象だから）
これを踏まえて、５と６の中間が分かるように（線対称の位置を強調するために）「＝」をつけておきました）
などの並びが含まれているが　②は裏側から見ると時計回りに
黄色ー赤ー赤ー赤ー白＝白ー白ー赤ー白
と見えるので　①、②はブレスレットの配置としては区別がつかないことになる
すなわち　、場所１と円の中心を結ぶ直径に対して色の並びが線対称でないものは表裏から見て区別がつかないと言えて
そのようなものは2組づつあり
重複がある！

ちなみに　①を後ろから順に読み上げて書き並べたものが白ー赤ー白ー白＝白ー赤ー赤ー赤ー黄色で
これはループをなしていますから、黄色の続きが白ー赤ー白ー白＝・・・ですよね
そこで黄色を先頭に持ってくれば
黄色ー白ー赤ー白ー白＝白ー赤ー赤ー赤となりますよね
この要領で並べたのが②です

一方8C4通りの中には、時計回りに（番号順に）
黄色ー白ー白ー赤ー赤＝赤ー赤ー白ー白…3　というようなものも含まれていますよね。
しかしながら、これは色の並びが線対称なので先ほどのように　
①の並びに対応する並びが②であるというような対応関係にあるものが存在しない
つまり先ほどの要領で　３を後ろから順に読み上げて書き並べたものが
白ー白ー赤ー赤＝赤ー赤ー白ー白ー黄色(-白・・・)
黄色を先頭にして
黄色ー白ー白ー赤ー赤＝赤ー赤ー白ー白・・・４
としても３，４は全く同じ並びなのです
したがって　色の並びが線対称の場合は①－②のような対応関係にあるペアの並びがなく
ゆえに　(1通りと数えるべき）裏から見れば同じ並びになるペアを２通りと数えていた、なんて言う重複がありません！

線対称の並びであるものは３のほかにもありますが　必ず対称線より右側（位置2～５）は赤２こ、白２こ　
左側（位置6～９）も赤2個、白2個という構成になりますから
色が線対称である並びは　対称線の右半分を見て　
位置2～５のうちから赤を配置する場所の選び方4C2＝６通りと同じだけあることになります

よって、1番に黄色を置いた場合のビーズの配置の仕方8C4=70通りのうち
線対称であるものが６通り・・・重複なし
線対称でない色の並びは　70-6=64通り・・・2組づつ重複
なのでブレスレットの作り方は　6+(64/2)=38となるのです

黄色の場所が２、３、４・・・９でも同じく38通りですから
この意味では38x9通り
しかし、ブレスレットは回転すれば区別がつかないので９組づつ重複！
ゆえに38x9÷9=38
結局　黄色を1番に固定したケースだけを考えれば答えが出ることになります