cos(k*arcsin x) = sqrt(1 - x*x)

cos(arcsin x) = sqrt(1 - x*x)
ここでsqrtは√です。

この計算と似たように arcsin X に係数（ｋ：定数）がついた場合の計算をしてほしいです。

cos(k*arcsin x) = ?

お願いします。

質問者からの補足コメント

• cos(sqrt(k)*arcsin x) = ？
  
  この場合もお願いします

    補足日時：2020/09/11 21:45

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/11 14:37

cos(k*arccos ｚ) が z の k 次多項式であることは、よく知られています。

具体的な式は、"チェビシェフの多項式" とか "cosのn倍角公式" とかで
google するとすぐみつかるでしょう。
その式に z = cos(arcsin x) = sqrt(1 - x*x) を代入すれば、
望みのものが得られると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
kが平方根の場合はどうなりますか？

お礼日時：2020/09/11 21:47

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/09/11 14:56

arcsin x＝ｙとして

cos(k*arcsin x) =cos(k*y)
e^ik*y=cosk*y+isink*y
e^-ik*y=cosk*y-isink*y
e^ik*y+e^-ik*y=2cosk*y=2cos(k*arcsin x)
cos(k*arcsin x) =1/2(e^ik*y+e^-ik*y)

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/09/12 07:58

ドモアブルの定理はｋ＝整数の時のみ成り立ちます。

分数や無理数は無理っす。