直交座標系のクーロン？

直交座標系において、点(a,0,0)および点(0,a,0)に電荷Q、また、点(0,0,a)に電荷-Qが置かれている。このときy軸上の点(0,a,0)にある電荷Qに働く力の大きさと向きを求めよ。が分かりません。

答えが　大きさ＝Q^2/(8πε0a^2) 方向=(-1,0,1) と書かれてありました。
答えしか書いておらず途中式や解き方が分かりません。途中式や解き方を含めて教えてください。

大きさについては、答えの形から、クーロンの法則F=(q1q2)/(4πε0r^2)に近しい気がするのですが・・・

先に大きさから教えてください。
再質問です

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/23 17:03

むろんクーロンの法則です

ただしクーロンの法則は　2電荷間に適用すべきものですから
点A(a,0,0)の電荷+QとB(0,a,0)にある電荷Qのクーロン力(F1)をまずは計算です
力なので向きも意識します
(A,Bは点の名前を勝手に命名しました）
すると
2点間の距離が　AB=√(a²+a²+0²)=a√2 なので
F1=(1/4πε)(Q²/2a²)
向きは互いに反発する向き　つまり ABの延長線上をBからAとは真逆の方向へ向かう向き
同様にして　C(0,0,a)の電荷-QとBの電荷+Qの間の静電気力F2は
F2=(1/4πε)(Q²/2a²)
向きは　ひきあう向きで　BからCの向き

(F1=F2)

F1とF2の和が答えに結び付くのだが
F１とF2は大きさと向きを持った量（ベクトルなので）なので
単純に台数の足し算というわけにはいかない！

そこで→F1をｘ方向、ｙ方向、ｚ方向への各成分に分解したい
高校数学Bで習ったであろうベクトルの知識を活用すると
→AB=(0,a,0)-(a,0,0)=(-a,a,0)であるが
→F1は大きさがF1=(1/4πε)(Q²/2a²)とわかっていて　
向きは、→AB=(-a,a,0)と同じ向き
|→BA|=a√2なので
→BAの単位→e1ベクトルを求めてやると
→e1=(1/AB)(→AB)=(1/a√2)(-a,a,0)=(-1/√2,1/√2,0)
ゆえに　
→F1=|F1|・(→e1)={(1/4πε)(Q²/2a²)}(-1/√2,1/√2,0)…①

もしベクトルを理解できなければ仕方ないので
図を書いて成分を求める
F1はA→B方向を向いているのでxy平面内に収まっている
ゆえに、ｚ座標は無視でxy平面だけを考えてよい
線分ABは　ｘ軸とABのなす角が45度だから
F1の成分は　
ｘ成分=-F1cos45 (向きに注意！）
y成分=F1sin45
ゆえに　成分表示して
F1の成分=(x,y)=(-F1cos45,F1sin45)
z成分まで含めれば
(-F1cos45,F1sin45,0)
これは①に等しい！

同様にして
→F2=|F2|(0,-1/√2,1/√2)

ゆえに|F1|=|F2|を考慮して
合力:（→F1+→F2)は
(-F1cos45,F1sin45,0)+|F2|(0,-1/√2,1/√2)
=|F1|{(-1/√2,1/√2,0)+(0,-1/√2,1/√2)}
=F1(-1/√2,0,1/√2)
=(-F1/√2,0,F1/√2)
ｘ成分:y成分:z成分=(-F1/√2):0:(F1/√2)=-1:0:1
なんで　合力の向きは、方向的には(-1,0,1)方向
合力の大きさは
|-F1/√2,0,F1/√2)|
=√{(-F1/√2)²+0²＋(F1/√2)²}
=√(2F1²/2)
=√F1²
=F1
＝(1/4πε)(Q²/2a²)
＝(Q²/8a²πε)
（結局　2力の向きと角度が影響して
今回は偶然、答えとF1=F2が一致）

この回答へのお礼

|→BA|=a√2なので
→BAの単位→e1ベクトルを求めてやると
→e1=(1/AB)(→AB)=(1/a√2)(-a,a,0)=(-1/√2,1/√2,0)

→e1=(1/AB)(→AB)=(1/a√2)(-a,a,0)=(-1/√2,1/√2,0)
この(1/AB)*(→AB)と言う式は一体どこから？1/(AB)も一体どこから？
出てきたんですか？

お礼日時：2020/09/23 18:56

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/09/24 06:50

AN01さんへのお礼を見る限りでは

図面豊富なベクトルの教科書でゆっくり学んでいただかないと
意思疎通さえ難しいと思います。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/23 20:19

→e1　は　→ABと同じ向きで長さは1のベクトル　という意味

→ABは長さがa√2だから
→ABの長さを1/a√2(1/AB)倍すれば　長さは1になる
これを表したのが
→e1=(1/AB)*(→AB)
これでわからなければ、高校数学のベクトルのテキストを見て勉強してください。
今回は、#1の別解「図から求める方法で」解いてみてください

No.3 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2020/09/23 17:31

もしかしたら、基本的な考え方でつまづいているかも知れませんね。

クーロンの法則で求められる”クーロン力”って、
重ね合わせができるんです。
ｘ座標上にある電荷をＱｘ、ｙ座標上にある電荷をＱｙ、ｚ座標上にある電荷をＱｚ
ってしておきます。
問題ではＱｙが受ける力を求めるのですから、
ＱｘとＱｙの間でクーロンの法則を使って、
Ｑｙが受ける力Ｆｙｘを調べます。
・・・この時、Ｑｚの存在は無視します。
次に、ＱｚとＱｙの間でクーロンの法則を使って、
Ｑｙが受ける力Ｆｙｚを調べます。
・・・この時、Ｑｘの存在は無視します。
で、Ｑｙが結果的に受ける力は、Ｆｙｘ ＋ Ｆｙｚ になります。
これが、”重ね合わせ”の意味です。
ただし、力はベクトルですから、ＦｙｘとＦｙｚはベクトルとして足し算して下さい。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/23 17:16

補足

もし大学などで物理学などを履修中に出会った問題ということなら
クーロンの法則：→F=(1/4πε)(qQ/r²)(→r)
ただし　→Fはｑが受ける静電気力
rは2電荷間の距離
→rはQからqに向かう単位ベクトル
を利用して
→F1と→F2の計算をしてもらえばよいです