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直交座標系において、点(a,0,0)および点(0,a,0)に電荷Q、また、点(0,0,a)に電荷-Qが置かれている。このときy軸上の点(0,a,0)にある電荷Qに働く力の大きさと向きを求めよ。が分かりません。

答えが 大きさ=Q^2/(8πε0a^2) 方向=(-1,0,1) と書かれてありました。
答えしか書いておらず途中式や解き方が分かりません。途中式や解き方を含めて教えてください。

大きさについては、答えの形から、クーロンの法則F=(q1q2)/(4πε0r^2)に近しい気がするのですが・・・

先に大きさから教えてください。
再質問です

A 回答 (5件)

むろんクーロンの法則です


ただしクーロンの法則は 2電荷間に適用すべきものですから
点A(a,0,0)の電荷+QとB(0,a,0)にある電荷Qのクーロン力(F1)をまずは計算です
力なので向きも意識します
(A,Bは点の名前を勝手に命名しました)
すると
2点間の距離が AB=√(a²+a²+0²)=a√2 なので
F1=(1/4πε)(Q²/2a²)
向きは互いに反発する向き つまり ABの延長線上をBからAとは真逆の方向へ向かう向き
同様にして C(0,0,a)の電荷-QとBの電荷+Qの間の静電気力F2は
F2=(1/4πε)(Q²/2a²)
向きは ひきあう向きで BからCの向き

(F1=F2)

F1とF2の和が答えに結び付くのだが
F1とF2は大きさと向きを持った量(ベクトルなので)なので
単純に台数の足し算というわけにはいかない!

そこで→F1をx方向、y方向、z方向への各成分に分解したい
高校数学Bで習ったであろうベクトルの知識を活用すると
→AB=(0,a,0)-(a,0,0)=(-a,a,0)であるが
→F1は大きさがF1=(1/4πε)(Q²/2a²)とわかっていて 
向きは、→AB=(-a,a,0)と同じ向き
|→BA|=a√2なので
→BAの単位→e1ベクトルを求めてやると
→e1=(1/AB)(→AB)=(1/a√2)(-a,a,0)=(-1/√2,1/√2,0)
ゆえに 
→F1=|F1|・(→e1)={(1/4πε)(Q²/2a²)}(-1/√2,1/√2,0)…①

もしベクトルを理解できなければ仕方ないので
図を書いて成分を求める
F1はA→B方向を向いているのでxy平面内に収まっている
ゆえに、z座標は無視でxy平面だけを考えてよい
線分ABは x軸とABのなす角が45度だから
F1の成分は 
x成分=-F1cos45 (向きに注意!)
y成分=F1sin45
ゆえに 成分表示して
F1の成分=(x,y)=(-F1cos45,F1sin45)
z成分まで含めれば
(-F1cos45,F1sin45,0)
これは①に等しい!

同様にして
→F2=|F2|(0,-1/√2,1/√2)

ゆえに|F1|=|F2|を考慮して
合力:(→F1+→F2)は
(-F1cos45,F1sin45,0)+|F2|(0,-1/√2,1/√2)
=|F1|{(-1/√2,1/√2,0)+(0,-1/√2,1/√2)}
=F1(-1/√2,0,1/√2)
=(-F1/√2,0,F1/√2)
x成分:y成分:z成分=(-F1/√2):0:(F1/√2)=-1:0:1
なんで 合力の向きは、方向的には(-1,0,1)方向
合力の大きさは
|-F1/√2,0,F1/√2)|
=√{(-F1/√2)²+0²+(F1/√2)²}
=√(2F1²/2)
=√F1²
=F1
=(1/4πε)(Q²/2a²)
=(Q²/8a²πε)
(結局 2力の向きと角度が影響して
今回は偶然、答えとF1=F2が一致)
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この回答へのお礼

|→BA|=a√2なので
→BAの単位→e1ベクトルを求めてやると
→e1=(1/AB)(→AB)=(1/a√2)(-a,a,0)=(-1/√2,1/√2,0)

→e1=(1/AB)(→AB)=(1/a√2)(-a,a,0)=(-1/√2,1/√2,0)
この(1/AB)*(→AB)と言う式は一体どこから?1/(AB)も一体どこから?
出てきたんですか?

お礼日時:2020/09/23 18:56

AN01さんへのお礼を見る限りでは


図面豊富なベクトルの教科書でゆっくり学んでいただかないと
意思疎通さえ難しいと思います。
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→e1 は →ABと同じ向きで長さは1のベクトル という意味


→ABは長さがa√2だから
→ABの長さを1/a√2(1/AB)倍すれば 長さは1になる
これを表したのが
→e1=(1/AB)*(→AB)
これでわからなければ、高校数学のベクトルのテキストを見て勉強してください。
今回は、#1の別解「図から求める方法で」解いてみてください
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もしかしたら、基本的な考え方でつまづいているかも知れませんね。


クーロンの法則で求められる”クーロン力”って、
重ね合わせができるんです。
x座標上にある電荷をQx、y座標上にある電荷をQy、z座標上にある電荷をQz
ってしておきます。
問題ではQyが受ける力を求めるのですから、
QxとQyの間でクーロンの法則を使って、
Qyが受ける力Fyxを調べます。
・・・この時、Qzの存在は無視します。
次に、QzとQyの間でクーロンの法則を使って、
Qyが受ける力Fyzを調べます。
・・・この時、Qxの存在は無視します。
で、Qyが結果的に受ける力は、Fyx + Fyz になります。
これが、”重ね合わせ”の意味です。
ただし、力はベクトルですから、FyxとFyzはベクトルとして足し算して下さい。
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補足


もし大学などで物理学などを履修中に出会った問題ということなら
クーロンの法則:→F=(1/4πε)(qQ/r²)(→r)
ただし →Fはqが受ける静電気力
rは2電荷間の距離
→rはQからqに向かう単位ベクトル
を利用して
→F1と→F2の計算をしてもらえばよいです
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