速度と加速度

微分の過程を教えてください。
【問題】
物体の位置が次で与えられるとき、物体の速度と加速度を求めよ。
⑴　x(t)＝x₀e^(-γt) sin(ωt＋σ）　（x₀、γ、ω、σは定数）
⑵　y＝blnct　（t≧1で、b、cは定数）
⑶　r(t)＝bcosωti＋csinωtj　（b、c、ωは定数）

【解答】
⑴　v(t)＝-x₀e^(-γt) {γsin(ωt＋σ)-ωcos(ωt＋σ)}
　　a(t)＝x₀e^(-γt) {(γ²-ω²)sin(ωt＋σ)-2γωcos(ωt＋σ)}
⑵　v(t)＝b/t
　　a(t)＝-b/t²
⑶　v(t)＝-bωsinωti＋cωcosωtj
　　a(t)＝-ω²(bcosωti＋csinωtj)

質問者からの補足コメント

• それはわかっています。私の質問は1分目の通り、どう微分すれば解答のようになるのかが知りたいのです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/05 22:21

No.3 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/10/05 23:10

(1)は積の微分

v(t)=dx(t)/dt
=-x0γe^(-γt)sin(ωt＋σ)+x0ωe^(-γt)cos(ωt＋σ)
=-x0e^(-γt)(γsin(ωt＋σ)-ωcos(ωt＋σ))
a(t)=dv(t)/dt
=x0γe^(-γt)(γsin(ωt＋σ)-ωcos(ωt＋σ))-x0e^(-γt)(γωcos(ωt＋σ)+(ω^2)sin(ωt＋σ))
=x0e^(-γt)((γ^2)sin(ωt＋σ)-γωcos(ωt＋σ)-γωcos(ωt＋σ)-(ω^2)sin(ωt＋σ))
=x0e^(-γt)((γ^2 - ω^2)sin(ωt＋σ) - 2γωcos(ωt＋σ))

(2)は自然対数の微分
v(t)=b/t
a(t)=-b/t^2

(3)は三角関数の微分
v(t)=-bωsinωti+cωcosωtj
a(t)=-b(ω^2)cosωti-c(ω^2)sinωtj
=(-ω^2)(bcosωti+csinωtj)

No.2 回答者： cametan_42 回答日時： 2020/10/05 22:29

(1) uもvもtの関数だった場合、(u*v)' = u'*v + u*v'が公式となる。

u = e^(-γt)
v = sin(ωt＋σ）

として考えて、まずは一階微分を求める。
同様の考え方で微分を進めれば良い。

(2) uをtの関数とする時、dy/dt = (dy/du)*(du/dt) である。

y = b * ln|u|

として考えよ。
二階微分はフツーの性感吸う、もとい、整関数の微分のまま、である。

(3) (2)と同じ。

r(t)＝bcos(u)＋csin(u)

として考えれば良い。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2020/10/05 22:19

速度は「位置」を時間で微分して得られ、

加速度は、「速度」を時間で微分して得られます。
その計算をしてください。