微分に関する質問です。 ご教授お願いします。

k次同時関数については理解できていますが
どのように証明するのでしょうか？
ご教授お願いします。

任意の整数λについて

f(λx,λy)=λ^ｋf(x,λ)
となるような関数f(x,y)をｋ次同時関数と呼ぶ。関数f(x,y)が微分可能な
K次同時関数である時、次式が成り立つことを証明せよ。

k f(x,y)= ∂f/∂x・ x+∂f/∂y ・y

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/10/25 11:37

u=λx, v=λy とおく。

df(u,v)/dλ=∂f(u,v)/∂u・du/dλ+∂f(u,v)/∂v・dv/dλ
　　=(∂f(u,v)/∂u)x+(∂f(u,v)/∂v)y
また
df(u,v)/dλ=(d/dλ)λ^kf(x,y)=kλ^(k-1)f(x,y)
したがって
(∂f(u,v)/∂u)x+(∂f(u,v)/∂v)y=kλ^(k-1)f(x,y)
ここで　λ=1 とすれば
u=x, v=y なので

(∂f(x,y)/∂x)x+(∂f(x,y)/∂y)y=kf(x,y)