証明の方法 こういった証明方法には問題がないと思っているのですが、これは正しいですか？ いわゆる「結

証明の方法
こういった証明方法には問題がないと思っているのですが、これは正しいですか？
いわゆる「結論から出発している」とは違いますよね？

質問者からの補足コメント

• 簡単すぎるものを例としてあげたことがもしかしたら問題かもしれません。
  たとえば、画像のように
  -31/(2√2）-9/2
  と
  -25
  の大小を知りたいとします。
  この時に、画像のように命題を設定して、その真偽を考えるとこで、大小を判定できます。
  
  このような論法を証明で行うのはどうでしょうかということです。
  
  
  ちなみに、「命題」とは板書には書いていませんでしたが、同様の内容を京大数学科の古賀真輝さんの「東大2014年文系第1問」の解説にて行われていたので、これに関しては誤りではないかと思います。
  

  
    補足日時：2020/11/15 01:23

No.8 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/15 09:13

とりあえず、ひとつ注意すべきことは、

　　A⇔B⇔C
とは
　　(A⇔B)⇔C
のことであって、
　　(A⇔B)∧(B⇔C)
とは全然違う、ってことだな。もちろん、後者の意味でお書きなのだろうが。

この回答へのお礼

ありがとうございます
それは横書きした場合にそう捉えられる訳ではなくて、縦書きでもそう捉えられる恐れがあるということでしょうか。

そうしますと、軌跡と領域の分野において、存在命題の同値変形をすることになりますけれど、とてつもないことになってしまいます。

お礼日時：2020/11/15 09:34

No.14 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/11/17 11:30

>>その程度のことまで逆を示さないといけないとなると

もっと最初に戻るべし
⇒を示せ、というのが出発点。
だったら、ゴチャゴチャ言うわずに、⇒を示しゃあ良いだけ。
イキナリ⇔が出て来て、暗黙で⇒を言ってる。
出発点は、⇒を示せ、だった筈。

この回答へのお礼

仰ってる意味が理解出来ました。
a>bと最初からわかっているのだから、
a>b⇒〜⇒(示したい不等式)
とすれば良いというご指摘ですね。
ありがとうございました

お礼日時：2020/11/17 11:49

No.13 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/15 15:57

反発する人が多いのな ;-)　論理的同値は案外人気がないらしい。

　証明はQ.E.D.で終わるのがお約束。Q.E.D. = Quod Erat Demonstrandum は「これが、証明されるべきことであった」という意味だが、その「これ」ってのは、Q.E.D.の直前に書いてある命題のこと。だから、ご質問や補足の写真で示されたように、最後に「証明されるべきだったこと」を書いて締めてあるのなら大丈夫だろうと思うけどね。
　しかし、もしそれが抜けていると、読むほうが補って理解せねばならん。試験なら、採点者の能力を信頼して答案を書いても、うっかりするとペケを喰らうおそれがある。そんな理由があって、「最後に証明されるべきだったことが導き出される、という構成」のスタイルが、多くの人に伝承され習慣化しているのだろうな。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
反発？ですか？
と言うともしかして、おかしいことを言ってる回答者さんがいるとかですか？

お礼日時：2020/11/16 20:17

No.12 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/11/15 12:25

>>3a+3b＜4a+2b⇔a＞bというのはさすがに自明として良いと思うんですが違うのですか

⇒は自明ですが、←は自明と言う定性語じゃなく式で示す必要があります。

そもそもは、A⇒Bを証明するのに、A←Bが成り立つから、A⇒Bが成り立つと言う論法の是非だった筈。
勿論非だから、⇒をチャント言う。
たったそれだけの事に、何で延々とゴネるの？

この回答へのお礼

ごねると言うよりは、その程度のことまで逆を示さないといけないとなると、軌跡や領域(存在条件の同値変形)を解くことはもはやできなくなってしまいます。

a=b⇔a＋c=b＋c
c≠0のとき
a=b⇔ac=bc

このくらいは当たり前に使っていると思います。
また、そのレベルの同値性を確認しているものをいままで(初歩の同値変形の紹介程度の部分を除いて)見たことがないからです。

お礼日時：2020/11/16 20:21

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/11/15 12:24

>②は常に真だから

>の意味で用いていました。
>私の意図とおなじです。

マジですか? より深い問題を掘りあてたみたいですね(^-^;

②が常に真(②が恒真) は

aとbが如何なる値をとってもa>bは真である

という意味です。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
もしかして間違っていましたか？

「a＞b」のもとで、考えているというものです。

a＞bのもとでは、命題「a＞b」は恒真命題ではないですか？

お礼日時：2020/11/16 20:22

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/11/15 09:59

>②⇒①という意味になっていないというのが

>よく分からないのですが、どういうことでしょうか。

>②は真であるから

は「②は常に真だから」 と読めるけどあなたの意図とは違うよね？

この回答へのお礼

②は常に真だから
の意味で用いていました。
私の意図とおなじです。

②は、a＞bのもとでは恒真命題。従って、②と同値な命題①も真である

という意図です

お礼日時：2020/11/15 11:16

No.9 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/15 09:45

> 縦書きでもそう捉えられる恐れがあるということでしょうか。

いくら改行したって、横書きには違いないでしょう。

> とてつもないことになってしまいます。

「以下の命題（述語）は互いに同値である」とか言っとけば足りるでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
そのことについて意識をしていませんでした。
これからはその文言を書いていきたいと思います。

お礼日時：2020/11/15 09:50

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/15 09:08

要するに 3a+3b<4a+2b ⇔ a>b を示したのだから、

それは a>b ⇒ 3a+3b<4a+2b も含んでいる。
下2行の文章は蛇足。

ただし No.1が言うように、読みにくく
3a+3b<4a+2b ⇒ a>b しか示してないと誤読する
者が出る可能性は高いと思う。
君自身、それを感じたから、要らん文章を書き足したんだろう？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かにそうですね。
示したいことは
(多分)
全てのa,bに対して
a＞b⇒(a+b)/2＜(2a＋b)…☆

ですね
ここで、全てのa,bに対して、①⇔a>bを示してるだけで、☆は示されているから、下の二文は蛇足ということですね。

お礼日時：2020/11/15 09:32

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/11/14 21:08

最後の1行が変。

「②は真であるから、①も真」
ってどういう意味?
②→① という意味にはなってないよね。


①から②までは等値変形だから
①→②かつ②→①
で充分だと思うけど。

この回答へのお礼

ありがとうございます。


命題
「(a+b)/2＜(2a+b)/3」･･･A
というものを考えています。(もちろんこの命題は、a,bに与えられる条件によって真偽が変わります)
そこで、
Aを同地変形します
A⇔a＞b

ここで、命題「a＞b」の真偽を考える。条件より、a＞bであるから、これは真である。

従ってAは真である

②⇒①という意味になっていないというのがよく分からないのですが、どういうことでしょうか。

お礼日時：2020/11/15 01:14

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/11/14 21:06

>>①から②までは同値変形をしているはずです。

a⇔bを示してると言ってるらしい事は解ります。

ならば、ストレートにa⇒bを言うだけです。
そもそも、a⇒bを、ストレートに論証していません。

3a+3b<4a+2b　⇔　a>b　だけじゃ、雰囲気だけ。
a>b　⇒　3a+3b<4a+2bとなる根拠を全く示していない。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

3a+3b＜4a+2b⇔a＞bというのはさすがに自明として良いと思うんですが違うのですか(ただの両辺に定数を足している、引いているだけですから、自明に同値と思っています。)
a＞b⇒4a＞3a＋b⇒4a+2b＞3a+3b


(あまりにも簡単な例をあげているので、ここをもっと丁寧に書くべきとしているのかもしれませんが、実際はこのような問題を解くことを目的としてはいません。さすがにこの同値変形が説明不足となるなら、難関大入試で紙が足りなくなってしまいます。)

お礼日時：2020/11/15 01:10