大学受験の数学の確率の問題です

大、中、小のさいころを同時に投げる時、出る目をそれぞれｘ、ｙ、ｚとする。
ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘが３の倍数となる確率を求めよ。　答は1/3です。

この問題の解法をお願いします。
また、詳しい方に質問ですが、この問題のレベルをどう思いますか？
大学受験のレベルでコメントお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： kacchann 回答日時： 2020/11/20 04:58

A(基本):センター試験の標準レベル

B(標準):センターより1ランク難しい
C(難):東大標準レベル
とします。
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僕が真っ先に思いついたのは･･･。

x=3k,3k+1,3k+2に場合わけし、
y,zも同様に場合わけして、
全部で9通りのケースについて
xy+yz+zxの値を考える、というもの。

発想は自然でシンプルだと思います。
計算も非常にシンプル。

問題点があるとすれば、
「9通りの場合わけをやろうとするかどうか」です。
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解法のかなめとなる基本発想自体はA。
ただ、
・9個の場合わけという一見面倒そうな作業をするかどうか
・9通りやってる最中に計算ミスや見落としをしないかどうか
という点をあわせると、
「トータルでB」といったところでは？

この回答へのお礼

解答ありがとうございますm(__)m
私もその後考えましたが、同じような解答で、合同式で書くのかなと思いましたが、面倒ではありますよね。
よければもう一題お願い出来ると嬉しいです。
こちらはファイアーストレージでのダウンロードになり、集合の問題です。

お礼日時：2020/11/20 12:07

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/19 13:07

いろいろな解法がありそうです

一例（地道にやるオーソドックスな方法）

目の出方の総数は　6³通り

３文字とも３の倍数であるようなケースは
2x2x2通り
この場合　xyもyzもzxも３の倍数だから
ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘは３の倍数

2文字が３の倍数であるようなケースは
3C2x4x2x2通り
この場合も　xyもyzもzxも３の倍数だから
ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘは３の倍数

１文字だけが３の倍数であるケースは
(3C1x2x4x4通り)
仮にxだけが３の倍数の時
xy+zxは３の倍数だから、yzも３の倍数でなければいけない
しかしながらxだけが３の倍数というケースを考えているので
xだけが３の倍数の時はｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘは３の倍数にならない
→1文字だけが３の倍数では、ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘは３の倍数にならない！

１文字も３の倍数でないケース
ｘｙ、yz、zx　いずれも３の倍数ではないので
各項（xyなど）は３で割ると１余る数か、３で割ると2余る数のいずれかです
これら３つの項の和が３の倍数となるのは
(３で割ると１余る数)+(３で割ると１余る数)+(３で割ると１余る数)…①
となる場合か
(３で割ると2余る数)+(３で割ると2余る数)+(３で割ると2余る数)…②
となる場合で
(３で割ると１余る数)と(３で割ると２余る数)を組み合わせて足し算したのでは３の倍数にはなりません！！
これを踏まえて
どの2組を選んで掛け算しても　３で割って1余る組を考えると
(1,1,1),(1,1,4),(1,4,4)
(2,2,2),(2,2,5),(2,5,5)
(4,4,4),
(5,5,5)
どの2組を選んで掛け算しても　３で割って２余る組を考えると
それは存在しない
（ご存じかと思いますが、組を考えているので
1-1-1,1-1-2,1-1-3・・・
という順序で考えて
いくとき
2-1-1というような中央と右端を左端より小さい数にして考えることはありません
2からはじまる数は　2-2-2とするべきで(2-1-1などは1-１-2のケースとかぶっています）
右の数が左のものより小さくなることがないように調べていくので
よって適する組を探すのに、さほど労力を要しないはずです）
3文字が同じ数であるケースは　4通り
ｘ、ｙ、ｚが１-1-4から構成されるもの
つまり、（x,y,z)=(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1)
となるのが3C1通り
（１，４，４、）も3C1
(2,2,5)(2,5,5)も３C1づつ
小計　4+3x4=16通り

以上から、ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘが３の倍数となるのは
2x2x2+3C2x4x2x2+16=72

確率は　72/6³=2/6=1/3

レベル的にはLv4～6 くらいでしょうかね（1０段階で）
まあ、標準レベル以下でしょうね

この回答へのお礼

長文ありがとうございますm(__)m
考えは難しくないけれど、労力はいると言う事ですよね。
数え漏れなど考えるとやるかまよいますね。

お礼日時：2020/11/20 12:05