ベクトル

ベクトル

△ABCにおいて、辺ABを1:2の比に内分する点をD, 辺BCを2:1の比に内分する点を
E,CDとAEの交点をP, BPとACの交点をQとする。
(1)ベクトルAPベクトルをABベクトルとACベクトルで表せ。

(2)比AP:PE, BP:PQを求めよ。

この二つを教えていただけないでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/15 21:42

与えられた条件は、

ベクトルAD = (1/3)ベクトルAB,　　　　　　　　　　　　　　 ←[1]
ベクトルAE = (1/3)ベクトルAB + (2/3)ベクトルAC,　　　　　　←[2]
ベクトルAP = (1-t)ベクトルAC + tベクトルAD = uベクトルAE,　　←[3]
ベクトルAQ = (1-v)ベクトルAB + vベクトルAP = wベクトルAC.　 ←[4]
ただし、t,u,v,w は実数.

(1)
[1][2]を[3]へ代入すると、
(1-t)ベクトルAC + t{(1/3)ベクトルAB} = u{(1/3)ベクトルAB + (2/3)ベクトルAC}
を展開整理して
{(1/3)t - (1/3)u}ベクトルAB + {(1-t) - (2/3)u}ベクトルAC = 0.　　←[5]
△ABCが成立することから ベクトルAB と ベクトルAC は一次独立なので、
[5]より (1/3)t - (1/3)u = (1-t) - (2/3)u = 0.
連立一次方程式を解いて、 t = u = 3/5. これを[3]へ代入して、
ベクトルAP = (1/5)ベクトルAB + (2/5)ベクトルAC.　　　　　　←[6]

(2)
[6]より、 AP：PE = u：(1-u) = 3：2.

以上の結果を[4]へ代入すると、
(1-v)ベクトルAB + v{(1/5)ベクトルAB + (2/5)ベクトルAC} = wベクトルAC
を展開整理して
{(1-v) + (1/5)v}ベクトルAB + {(2/5)v - w}ベクトルAC = 0.
ベクトルAB と ベクトルAC は一次独立なので、
(1-v) + (1/5)v = (2/5)v - w = 0.
連立一次方程式を解いて、 v = 5/4, w = 1/2. これを[4]へ代入して、
ベクトルAQ = (-1/4)ベクトルAB + (5/4)ベクトルAP.
これより、 BP：PQ = ｜v｜：｜(1-v)｜ = 5：1.